Digging Up Polynomial Roots mit Factoring

Wenn die Lösung für Wurzeln (x

-Abschnitte mit einem Polynom), müssen Sie in der Regel die Funktion Regel zu Faktor und es gleich 0. Die Faktorisierung festlegen können einfach und klar oder kompliziert und undurchsichtig sein. Sie hoffen immer, für die einfache und offensichtliche, bewegen sich zu anspruchsvoll und machbar, und greifen auf die # 147-Kanonen 148- #, wenn die Faktoren dunkler sind.

Bevor Sie auf diese Längen gehen, obwohl, müssen Sie andere Methoden zu erschöpfen. Die anderen Methoden des Factoring umfassen

• Die Aufteilung aus einen größten gemeinsamen Faktor (GCF)

• Factoring ein perfektes Quadrat binomischen

• Factoring durch Gruppierung

• Factoring quadratischen artigen trinomials

Beispielfragen

1. Suchen Sie nach den Wurzeln (Lösungen) des Polynoms x⁷ - 82x⁵ + 81x³ = 0.

   x= 0, 0, 0, 9, -9, 1, -1. Diese Gleichung hat technisch sieben Lösungen, aber die 0 ist ein mehrere Wurzel, so dass Sie mit nur fünf verschiedene Zahlen enden. Um diese Lösungen zu finden, Sie erste Faktor x³ aus jedem Begriff zu bekommen x³(x⁴ - 82x² + 81) =

   Die beiden Binomen sind sowohl die Differenz der Quadratzahlen, so dass Sie sie in die Differenz und die Summe der Wurzeln der Begriffe Faktor. Du erhältst x³(x - 9) (x + 9) (x - 1) (x + 1) = 0 jeder der Faktoren gleich 0 einstellen, finden Sie die Wurzeln.

2. Suchen Sie nach den Wurzeln (Lösungen) des Polynoms x³ - 16x² + 100x - 1600 = 0.

   x = 16. Das Polynom hat keinen gemeinsamen Faktor in den vier Bedingungen, aber Sie können Gruppe die Bedingungen für die Paare von gemeinsamen Faktoren. Du erhältst x²(x - 16) + 100 (x - 16) = 0, bei denen die Faktoren (x - 16) (x² + 100) = 0. Die zweite binomische ist die Summe der Quadrate, die nicht Faktor ist.

   diese beiden Faktoren gleich 0 einstellen, erhalten Sie x = 16 aus dem ersten Faktor, aber der zweite Faktor produziert keine wirklichen Antworten. Auch wenn Sie mit einem Polynom dritten Grades begonnen, die bis zu drei Lösungen liefern kann, hat dieses Polynom nur eine reelle Wurzel. Die Lösung ist einfach x = 16.

Übungsfragen

1. Suchen Sie nach den Wurzeln (Lösungen) von der Polynom 3x⁴ - 12x³ - 27x² + 108x = 0.

2. Suchen Sie nach den Wurzeln (Lösungen) des Polynoms x⁵ - 16x³ + x² - 16 = 0.

3. Suchen Sie nach den Wurzeln (Lösungen) des Polynoms x⁶ + 9x³ + 8 = 0.

4. Suchen Sie nach den Wurzeln (Lösungen) des Polynom 36x⁵ - 13x³ + x = 0.

Im Folgenden finden Sie Antworten auf die Fragen der Praxis:

1. Die Antwort ist x= 0, 3, -3, 4.

   Erster Faktor 3x aus jedem Begriff zu bekommen 3x(x³ - 4x² - 9x + 36) = 0. Sie können dann Faktor, um die Bedingungen in den Klammern durch die Gruppierung: 3x[x²(x - 4) -9 (x - 4)] = 3x[(x - 4) (x² - 9)] = 3x[(x - 4) (x - 3)(x + 3)] = 0. Stellen Sie jeden Faktor, der gleich 0 für die Wurzeln zu lösen.

2. Die Antwort ist x= 4, -4, -1.

   Die Polynom Faktoren durch Gruppierung: x³(x² - 16) + 1 (x² - 16) = (x² - 16) (x³ + 1) = (x - 4) (x + 4) (x + 1) (x² - x + 1) = 0. Die ersten drei Faktoren geben Sie die wirklichen Wurzeln. Der letzte Faktor ist eine quadratische, die keine wirkliche Lösung hat, wenn man es gleich 0 gesetzt.

   Sie müssen nicht wirklich Faktor x³ + 1 in Problem 6, um die Wurzel zu finden. Wenn Sie gerade eingestellt x³ + 1 gleich 0 ist, Sie bekommen x³ = -1, Und nimmt die Kubikwurzel beiden Seiten gibt Ihnen die Lösung -1. Die einkalkuliert Form einfach zeigt Ihnen, wie Sie dieses Problem fünf Wurzeln gehabt haben könnte, aber nicht alle sind reelle Zahlen in diesem Fall.

3. Die Antwort ist x= -2, -1.

   Das Polynom ist quadratisch-like. Es Faktoren (x³ + 8) (x³ + 1) = 0. jeden Faktor, der gleich 0 Einstellung, Sie bekommen die beiden Wurzeln.

4. Die Antwort ist

   

   Zunächst Faktor x aus jedem Begriff zu bekommen x(36x⁴ - 13x² + 1) = 0. Die quadratische artige trinomial Faktoren, die Ihnen x(9x² - 1) (4x² - 1) = 0. Jeder binomischen ist die Differenz der Quadrate, so beide Binomen Faktor. Für die endgültige Faktorisierung, Sie am Ende mit x(3x - 1) (3x + 1) (2x - 1) (2x + 1) = 0. Einstellung jeden Faktor gleich 0 gibt Ihnen die fünf verschiedenen Lösungen.