Die folgende Tabelle zeigt Ihnen, wie 18 der am häufigsten verwendeten Funktionen zu differenzieren und zu integrieren. Wie Sie sehen können, kehrt Integration Differenzierung, die Funktion in seinen ursprünglichen Zustand zurückkehrt, bis auf eine Konstante C
.
Die Riemannsche Summenformel Für die Definite Integral
Die Riemannsche Summenformel liefert eine genaue Definition des bestimmten Integrals als Grenzwert einer unendlichen Reihe. Die Riemannsche Summenformel lautet wie folgt:
Im Folgenden sind die Schritte, ein integrales mit sechs Rechtecke zur Annäherung:
Erhöhen Sie die Anzahl der Rechtecke (n) Eine bessere Annäherung zu erzeugen:
Vereinfachen Sie diese Formel durch Ausklammern w von jedem Begriff:
Verwenden Sie das Summenzeichen, um diese Formel zu machen noch kompakter:
Der Wert w ist der Breite jedes Rechtecks:
Jeder h valueis die Höhe eines anderen Rechtecks:
So, hier ist die Riemannsche Summenformel für annähernden ein integraler mit n Rechtecke:
Für eine bessere Annäherung, verwenden Sie die Grenze
die Anzahl der Rechtecke zu ermöglichen, nähern Unendlichkeit:
Integration durch Teile mit der DI-agonal Methode
Die DI-agonal Methode ist im Grunde die Integration von Teilen mit einem Diagramm, das Sie Informationen zu organisieren hilft. Dieses Verfahren ist besonders nützlich, wenn sie durch Teile mehr als einmal zu integrieren müssen, ein Problem zu lösen. Verwenden Sie die folgende Tabelle für die Integration von Teilen der DI-agonal Methode verwendet:
Die Summenregel, die ständige Multiple-Regel, und die Potenzregel für Integration
Wenn Sie die Integration durchführen, gibt es drei wichtige Regeln, die Sie wissen müssen: die Summenregel, die Konstante Multiple-Regel, und die Potenzregel.
Die Summenregel für Integration sagt Ihnen, dass es okay ist, durch Begriff lange Ausdrücke Begriff zu integrieren. Hier ist es offiziell:
Die Konstante Multiple-Regel für die Integration sagt Ihnen, dass es okay ist, eine konstante außerhalb eines integralen zu bewegen, bevor Sie integrieren. Hier wird es in Symbolen ausgedrückt:
Die Potenzregel für Integration ermöglicht es Ihnen, eine wirkliche Macht zu integrieren x (Außer -1). Hier ist die Potenzregel formal ausgedrückt:
woher n # 8800- -1
So lösen Integralen mit Variablenersetzung
In Calculus, können Sie Variablensubstitution verwenden, um einen komplexen Integral auszuwerten. Variable Substitution ermöglicht es Ihnen, zu integrieren, wenn die Summenregel, Constant Multiple-Regel und Strom Regel nicht funktionieren.
Deklarieren Sie eine Variable u,stellen Sie ihn auf einem algebraischen Ausdruck gleich, die in dem Integral erscheint, und dann ersetzen u für diesen Ausdruck in dem integral.
Unterscheiden u finden
und dann isolieren alle x Variablen auf einer Seite des Gleichheitszeichens.
Machen Sie eine weitere Substitution zu ändern dx und alle anderen Vorkommen x in der integralen zu einem Ausdruck, der umfasst du.
Integration durch die Verwendung u als neue Variable der Integration.
Express diese Antwort in Bezug auf x.
Wie Verwenden von Integration durch Teile
Wenn Calculus tun, gibt die Formel für die Integration von Teilen Sie die Möglichkeit, seine Faktoren das Produkt von zwei Funktionen zu brechen und sie in veränderter Form zu integrieren. Um die Integration von Teilen in Calculus verwenden, gehen Sie folgendermaßen vor:
Zerlege das gesamte Integral (einschließlich dx) In zwei Faktoren.
Lassen Sie den Faktor ohne dx gleich u und der Faktor mit dx gleich dv.
Unterscheiden u finden du, und integrieren dv finden v.
Verwenden Sie die Formel:
Auswerten der rechten Seite dieser Gleichung die integral zu lösen.
Wie man Verbindung Funktionen lösen, bei denen die innere Funktion ist Axt + b
Einige Integrale Verbindung Funktionen f(G(x)) Sind einfach schnell in Calculus zu tun. Dazu gehören Verbindung Funktionen, für die Sie wissen, wie die äußere Funktion zu integrieren f, und die innere Funktion G(x) Ist von der Form Axt + b - das heißt, unterscheidet sie auf eine Konstante.
Hier sind einige Beispiele:
Lösen Sie die Verbindung Funktionen, wo die innere Funktion ist Axt
Bei der Errechnung der Calculus Probleme, einige Integrale Verbindung Funktionen f(G(x)) Sind leicht schnell zu tun. Dazu gehören Verbindung Funktionen, für die Sie wissen, wie die äußere Funktion zu integrieren f, und die innere Funktion G(x) Ist von der Form Axt - das heißt, unterscheidet sie auf eine Konstante.
Hier sind einige Beispiele:
