So Analysieren Absolute und bedingte Konvergenz
Viele divergente Reihe mit positiven Gliedern zusammenlaufen, wenn Sie die Zeichen ihrer Bedingungen ändern, so dass sie zwischen positiven und negativen abwechseln. Zum Beispiel wissen Sie, dass die harmonische Reihe divergiert:
Aber, wenn Sie alle anderen Zeichen zu negativ verändern, Sie erhalten die alternierende harmonische Reihe, die konvergiert:
Durch die Art und Weise, konvergiert dieser Reihe ln 2, die etwa 0,6931 entspricht.
Eine alternierende Reihe wird gesagt, dass bedingt konvergente wenn es konvergent, wie es ist, aber würde divergent werden, wenn alle Bedingungen positiv gemacht wurden. Eine alternierende Reihe wird gesagt, dass absolut konvergente wenn es auch konvergent wäre, wenn alle ihre Bedingungen waren positiv gemacht. Und eine solche absolut konvergente Reihe wird auch automatisch konvergent, wie es ist.
Hier ist ein Beispiel. Bestimmen Sie die Konvergenz oder Divergenz der folgenden alternierende Reihe:
Wenn alle diese Bedingungen positiv waren, würden Sie die bekannte geometrische Reihe haben,
, die durch die geometrische Reihe der Regel auf 2 konvergiert Da die positive Reihe konvergiert, muss die alternierende Reihe auch konvergieren, und Sie sagen, dass die alternierende Reihe ist absolut konvergente.
Die Tatsache, dass absolute Konvergenz gewöhnliche Konvergenz impliziert ist nur der gesunde Menschenverstand, wenn man darüber nachdenkt. Die bisherige geometrische Reihe von positiv konvergiert gegen 2. Wenn Sie alle machten die Bedingungen negativ, wäre es auf -2 Summe, nicht wahr? Also, wenn einige der Begriffe positiv und einige negativ ist, muss die Reihe konvergieren etwas zwischen -2 und 2.
Haben Sie bemerkt, dass die obige alternierende Reihe eine geometrische Reihe ist wie es ist mit
(Daran erinnern, dass die Formel für die Summe einer geometrischen Reihe arbeitet, wann immer r zwischen -1 und 1-er Serie sowie für die positive Serie für Wechsel) Die Formel gibt ihre Summe so funktioniert.:
