Wie finden Sie das Volumen eines Fest zwischen zwei Oberflächen der Revolution

Wenn Sie die Lautstärke eines festen finden wollen, die zwischen zwei unterschiedlichen Oberflächen der Revolution fällt, können Sie das Fleisch-Slicer-Methode verwenden, um dies zu tun. Das Scheibenmethode funktioniert am besten mit Feststoffen, die ähnliche Querschnitte aufweisen. Hier ist der Plan:

1. Finden Sie einen Ausdruck, der die Fläche eines beliebigen Querschnitt des Feststoffs in Bezug auf repräsentiert x.

2. Verwenden Sie diesen Ausdruck, der eine bestimmte Integral zu bauen (in Bezug auf dx), Die das Volumen des Feststoffs darstellt.

3. Bewerten Sie dieses Integral.

Der Trick ist, einen Weg zu finden, den ringförmigen Bereich eines Querschnitts als die Differenz zwischen beiden Integrale zu beschreiben: ein Integral, das die ganze Form minus ein anderer beschreibt, die das Loch beschreibt.

Angenommen, dass Sie das Volumen des festen hier gezeigten finden möchten.

Dieser feste Aussehen etwas wie eine Schüssel auf die Seite gedreht. Der äußere Rand ist die Rotationskörper um den x-Achse für die Funktion

Die Innenkante ist die Rotationskörper um den x-Achse für die Funktion

Hier ist, wie dieses Problem zu lösen:

1. Finden Sie einen Ausdruck, der die Fläche eines zufälligen Querschnitt des festen darstellt.

   Das heißt, finden die Fläche eines Kreises mit einem Radius von

   

   und subtrahieren Sie die Fläche eines Kreises mit einem Radius von

   

2. Verwenden Sie diesen Ausdruck, der eine bestimmte Integral zu bauen, die das Volumen des Fest darstellt.

   Die Grenzen der Integration sind 0 und 4:

   

3. Lösen Sie das Integral:

   

   Jetzt bewerten Sie diesen Ausdruck:

   

Hier ist ein weiteres Problem: Finden Sie das Volumen des festen hier gezeigten.

Dieser Feststoff fällt zwischen der Oberfläche der Revolution y = ln x und die Rotationsfläche

nach unten beschränkt durch y = 0 und oben durch y = 1 ist.

einem Kreis mit einem Loch in der Mitte: der rechten Seite der Figur; Der Querschnitt dieser Feststoff wird auf der rechten Seite gezeigt.

Beachten Sie jedoch, daß dieser Querschnitt senkrecht zur y-Achse. Um die Scheibenmethode verwenden, muss der Querschnitt senkrecht zu der x-Achse. Ändern Sie das Problem mit Umkehrungen:

Das sich ergebende Problem wird in dieser Figur gezeigt.

Jetzt können Sie das Fleisch-Slicer-Methode verwenden, um das Problem zu lösen:

1. Finden Sie einen Ausdruck, der die Fläche eines zufälligen Querschnitt des festen darstellt.

   Das heißt, finden die Fläche eines Kreises mit einem Radius von e^x und subtrahieren Sie die Fläche eines Kreises mit einem Radius von

   

   Dies ist nur Geometrie. Denken Sie daran, dass die Fläche eines Kreises # 960-r²:

   

2. Verwenden Sie diesen Ausdruck, der eine bestimmte Integral zu bauen, die das Volumen des Fest darstellt.

   Die Grenzen der Integration sind 0 und 1:

   

3. Bewerten Sie die Integral:

   

   So das Volumen dieses fest ist etwa 9,179 Kubikeinheiten.