Wie zu testen, ob eine Reihe konvergiert oder divergiert
Angenommen, Sie versuchen, ob eine Serie divergiert konvergiert oder um herauszufinden, aber es funktioniert nicht irgendwelche Tests passen Sie wissen. Keine Bange. Hier finden Sie eine Benchmark-Reihe, die Sie konvergiert oder divergiert kennen und dann Ihre neue Serie mit dem bekannten Benchmark vergleichen.
Wenn Sie eine Reihe haben das ist kleiner als ein konvergent Benchmark-Reihe, dann müssen Sie Ihre Serie auch konvergieren. Wenn die Benchmark konvergiert, Ihre Serie converges- und wenn der Benchmark abweicht, weicht Ihre Serie. Und wenn Ihre Serie ist größer als ein abweichend Benchmark-Reihe, dann müssen Sie Ihre Serie auch auseinandergehen. Hier ist der Hokuspokus.
Direkte Vergleichstest:
Wie wäre es mit einem Beispiel? Herausfinden, ob
konvergiert oder divergiert. Piece o 'Kuchen. Diese Serie ähnelt
die eine geometrische Reihe mit r gleich
(Beachten Sie, dass Sie dies in der Standard geometrische Reihe Form umschreiben kann als
diese Reihe konvergiert. Und weil
konvergieren. Hier ist ein anderes: Hat
konvergieren oder divergieren? Diese Serie ähnelt
die harmonische p-Serie, die zu divergieren, ist bekannt. weil
müssen auch voneinander abweichen. By the way, wenn Sie sich fragen, warum dieses Beispiel nur die Bedingungen hält, wo
hier ist der Grund:
Fühlen Sie sich frei ursprünglichen Bedingungen zu ignorieren. Für jede der Konvergenz / Divergenz-Tests, können Sie ignorieren irgendein Anzahl von Termen zu Beginn einer Serie. Und wenn Sie zwei Serien zu vergleichen, können Sie eine beliebige Anzahl von Bedingungen von Anfang an von einem oder beiden der Serie ignorieren - und Sie können eine andere Anzahl von Begriffen in jeder der beiden Serien ignorieren.
Diese völlige Mißachtung von unschuldigen Anfang Bedingungen erlaubt ist, weil das erste, sagen wir, 10 oder 1000 oder 1.000.000 Bedingungen einer Serie immer auf eine endliche Zahl zusammenzufassen und somit nie eine Auswirkung auf, ob die Reihe konvergiert oder divergiert. Beachten Sie jedoch, dass eine Reihe von Begriffen ungeachtet würde Auswirkungen auf die Gesamt, dass eine konvergente Reihe konvergiert.
(Fragen Sie sich, warum diese Mißachtung von Anfang Bedingungen nicht gegen die direkte Anforderung des Vergleichstest, dass
Alles ist copacetic, weil Sie eine beliebige Anzahl von Bedingungen am Anfang jeder Serie abreißen können und lassen Sie den Zähler, n, bei 1 überall in jeder Serie starten. So werden die "erste" Begriffe ein1 und b1 kann tatsächlich irgendwo entlang jeder Reihe angeordnet sein. Sinn ergeben?)
Vordergrund! (Das war ein Witz.) Der direkte Vergleich Test sagt Ihnen, nichts wenn die Serie Sie untersuchen ist größer als ein bekannter konvergent Serie oder Weniger als ein bekannter abweichend Serie.
Zum Beispiel, sagen Sie bestimmen wollen, ob
konvergiert. Diese Serie ähnelt
die ein p-Serie mit p gleich
Das p-Serie Test sagt, dass diese Reihe divergiert, aber das hilft Ihnen nicht, weil Ihre Serie ist Weniger als dieser bekannten abweichende Benchmark.
Stattdessen sollten Sie Ihre Serie mit der divergenten harmonischen Reihe vergleichen,
(Es dauert ein wenig Arbeit zu zeigen, es this- geben einen Versuch). Weil Ihre Serie ist größer als das abweichend harmonischen Reihe, muss Ihre Serie auch auseinandergehen.