Wie eine partielle Ableitung verwenden eine Neigung in drei Dimensionen zu messen

Sie können eine partielle Ableitung verwenden, um eine Änderungsrate in einer Koordinatenrichtung in drei Dimensionen zu messen. Um dies zu tun, zu visualisieren Sie eine Funktion von zwei Variablen z = f(x, y) Als eine Oberfläche, über die schwebende xy-Ebene eines 3-D kartesischer Graphen. Die folgende Abbildung enthält eine Beispielfunktion.

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Nun nehmen Sie einen Blick auf die Funktion z = y, hier gezeigt.

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Wie Sie sehen können, sieht diese Funktion eine Menge, wie die geneigte Dach eines Hauses. Stellen Sie sich auf dieser Oberfläche stehen. Wenn Sie gehen parallel mit der y-Achse, Ihre Höhe entweder steigt oder fällt. Mit anderen Worten, wenn der Wert von y ändert, ändert sich auch der Wert von z. Aber wenn Sie zu Fuß parallel mit der x-Achse, Ihre Höhe bleibt die gleichgeschlechtlicher Änderung des Wertes von x hat keine Auswirkung auf z.

So intuitiv erwarten Sie, dass die partielle Ableitung

image2.png

auch erwarten ist 1. Sie, dass die partielle Ableitung

image3.png

0 ist.

partiellen Ableitungen zu berechnen ist nicht viel schwieriger als normale Derivate zu bewerten. Bei einer Funktion z(x, y) Die beiden partiellen Ableitungen sind

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Hier ist, wie man sie berechnen:

  • Berechnen

    image5.png

  • behandeln y als Konstante und Verwendung x als Differenzierungs Variable.

  • Berechnen

    image6.png

  • behandeln x als Konstante und Verwendung y als Differenzierungs Variable.

Angenommen, du bist die Gleichung z = 5x2y3. Finden

image7.png

behandeln y als ob es eine Konstante waren - das heißt, behandeln den gesamten Faktor 5y3 als ob es eine große Konstante - und unterscheiden x2:

image8.png

Finden

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behandeln x als ob es sich um eine konstant waren - das heißt, behandeln 5x2 als ob es die Konstante - und unterscheiden y3:

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Als weiteres Beispiel nehme an, dass Sie die Gleichung sind gegeben z = 2exSünde y + ln x. Finden

image11.png

behandeln y als ob es eine konstant waren und durch die variable differen x:

image12.png

Finden

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behandeln x als ob es eine konstant waren und durch die variable differen y:

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Wie Sie sehen können, wenn Differenzierung von y, die ln x Begriff wird als Konstante behandelt und fällt vollständig weg.

Zurückkehren zu dem früheren Beispiel - der # 147 geneigten Dach # 148- Funktion z = y - hier sind beide partiellen Ableitungen dieser Funktion:

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Wie Sie sehen können, erzeugt diese Berechnung die vorhergesagten Ergebnisse.

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