Finden Sie die Null-Eingang und NULLZUSTANDS- Antworten der Serie RC-Schaltung
Um die Gesamtantwort einer RC-Reihenschaltung zu finden, müssen Sie die Null-Eingangsantwort und die Null-Zustand Antwort zu finden und sie dann zusammen fügen. Ein erster Ordnung RC-Reihenschaltung einen Widerstand (oder ein Netz von Widerständen) und einem Kondensator in Reihe geschaltet.
Hier ist ein RC-Reihenschaltung in zwei Kreise aufgeteilt. Die obere rechte Diagramm zeigt die Null-Eingangsantwort, die Sie durch Setzen des Eingangs auf 0. Das untere rechte Diagramm zeigt Ihnen den Null-Zustand Antwort, die Sie, indem Sie die Anfangsbedingungen auf 0 erhalten.
Sie wollen zunächst die Null-Eingangsantwort für den RC Reihenschaltung zu finden. Die obere rechte Diagramm zeigt hier das Eingangssignal vT(T) gleich 0. Null-Eingangsspannung bedeutet, dass Sie Null haben. . . nada. . . Reißverschluss. . . Eingang für alle Zeiten. Die Ausgangsantwort ist aufgrund der Anfangsbedingung V0 (Anfangskondensatorspannung) zum Zeitpunkt t = 0. Die erste Ordnung Differentialgleichung reduziert sich auf
Hier, vZI(T) ist die Kondensatorspannung. Für eine Eingangsquelle auf 0 Volt gesetzt, wie hier gezeigt, wird die Kondensatorspannung genannt Null-Eingangsantwort oder freie Antwort. Keine äußeren Kräfte (wie beispielsweise eine Batterie) sind, die auf die Schaltung, mit Ausnahme der Anfangszustand der Kondensatorspannung.
Sie können vernünftigerweise vermuten, dass die Lösung ist die Exponentialfunktion (Sie die Lösung anschließend überprüfen und verifizieren können). Sie versuchen, eine exponentielle, weil die zeitliche Ableitung eines exponentiellen auch eine exponentielle ist. Stellvertreter, die in den RC erster Ordnung Schaltungsgleichung erraten:
vZI(T) = Aekt
Das EIN und k willkürliche Konstanten sind der Nulleingangsantwort. Jetzt ersetzen Sie die Lösung vZI(T) = Aekt in die Differentialgleichung:
Sie erhalten eine algebraische charakteristische Gleichung nach der Gleichung gleich 0 gesetzt und Ausklammern aekt:
aekt(1 + RCK) = 0
Die charakteristische Gleichung gibt Ihnen eine viel einfachere Problem. Der Koeffizient der ekt sein muss 0, so dass man für die Konstante nur lösen k:
Wenn du. .. hast k, Sie haben die Null-Eingangsantwort vZI(T). Mit k = -1 / RC, Sie können die Lösung der Differentialgleichung für den Null-Eingang finden:
Jetzt können Sie die Konstante finden EIN durch die Anfangsbedingung anwenden. Zum Zeitpunkt t = 0, ist die Anfangsspannung ist, V0, was Sie gibt
Die Konstante EIN einfach ist die Anfangsspannung V0 über dem Kondensator.
Schließlich besteht die Lösung der Kondensatorspannung, die der Null-Eingangsantwort vZI(T):
Der konstante Term RC in dieser Gleichung wird als die Zeitkonstante. Die Zeitkonstante ist ein Maß dafür, wie lange ein Kondensator entladen oder geladen hat. In diesem Beispiel beginnt der Kondensator an einem gewissen Anfangszustand des Spannungs V0 und leitet leise in der Versenkung in einen anderen Zustand von 0 Volt.
Annehmen RC = 1 Sekunde und Anfangsspannung V0 = 5 Volt. Diese Probe Schaltung zeichnet die abklingende Exponentialfunktion, die zeigen, dass es etwa 5 Zeitkonstanten, oder 5 Sekunden dauert, für die Kondensatorspannung auf 0 absinkt.
Das Finden der Nullzustandsantwort von der Eingangsquelle Fokussierung
Nullzustandsantwort bedeutet Null Anfangsbedingungen, und es erfordert die Kondensatorspannung zu finden, wenn eine Eingabequelle dort ist, vT(T). Sie müssen die homogene und besondere Lösungen zu finden, die Null-Zustand Reaktion zu erhalten. Um Null Anfangsbedingungen zu finden, suchen Sie die Schaltung auf, wenn es keinen Spannung über den Kondensator zum Zeitpunkt t = 0.
Die Strecke in der unteren rechten Ecke dieser Probe Schaltung Nullanfangsbedingungen und eine Eingangsspannung von VT(T) = u (t), woher u (t) ist eine Einheit, die Step-Eingabe.
Mathematisch kann man Schritt Funktion beschreiben u (t) wie
Das Eingangssignal wird in zwei Zeitintervalle geteilt. Wann t lt; 0, u (t) = 0. Die erste Ordnung Differentialgleichung wird
Sie haben festgestellt, die Lösung bereits vor der Zeit t = 0, denn vh(T) die Lösung der homogenen Gleichung:
Sie bestimmen die willkürliche Konstante c1 nach der besonderen Lösung und Aufbringen der Anfangsbedingung zu finden V0 von 0 Volt.
Jetzt finden die besondere Lösung vp (t) wann u (t) = 1 nach t = 0.
Nach der Zeit t = 0 ist, beschreibt ein Einheitsschritt Eingabe des transienten Spannungsverhalten über den Kondensator. Die Kondensatorspannung auf den Sprungeingang reagieren wird genannt Sprungantwort.
Für einen Schritt Eingang vT(T) = u (t), Sie haben ein erster Ordnung Differentialgleichung:
Sie wissen bereits, dass der Wert des Schrittes u (t) gleich 1 ist, nachdem t = 0. Ersatz u (t) = 1 in der vorstehenden Gleichung:
Lösen für die Kondensatorspannung vp(T), das ist die besondere Lösung. Die jeweilige Lösung ist immer abhängig vom tatsächlichen Eingangssignal.
Weil der Eingang eine Konstante ist, nachdem t = 0, wird die partikuläre Lösung vp(T) wird angenommen, dass ein konstant zu sein VEIN auch.
Die Ableitung einer Konstante gleich 0 ist, was bedeutet, die folgenden:
Jetzt ersetzen vp(T) = VEIN und ihre Ableitung in die erste Ordnung Differentialgleichung:
Nach einer relativ langen Zeitraum, folgt die spezielle Lösung der Einheit Schritt Eingang mit Stärke VEIN = 1. Im Allgemeinen ist ein Schritt-Eingang mit Stärke VEIN oder VEINu (t) führt zu einer Kondensatorspannung von VEIN.
Nachdem die homogenen und insbesondere Lösungen zu finden, fügen Sie die beiden Lösungen, um die Null-Zustand Antwort zu erhalten vZS(T). Sie finden c1 durch die Anfangsbedingung anwenden, die gleich 0 ist.
Addiert man die homogene Lösung und die besondere Lösung, haben Sie vZS(T):
vZS(T) = vh(T) + vp(T)
Setzt man in den homogenen und insbesondere Lösungen gibt Ihnen
Beim t = 0, wird der Anfangszustand vc(0) = 0 für die Nullzustandsantwort. Sie können jetzt berechnen vZS(0) wie
Als nächstes lösen für c1:
c1= -VEIN
Ersatz c1 in die Null-Zustandsgleichung die vollständige Lösung des Nullzustandsantwort zu erzeugen vZS(T):