Wie der Winkel und die Magnitude eines Vektors zu finden
In der Physik, manchmal muss man den Winkel und die Größe eines Vektors finden, anstatt die Komponenten. Um die Größenordnung zu finden, verwenden Sie den Satz des Pythagoras. Und zu finden
Sie verwenden, um die inverse Tangens-Funktion (oder inverse Sinus- oder Cosinus).
Zum Beispiel nehme an, Sie suchen ein Hotel, das 20 Meilen östlich ist und dann 20 Meilen nach Norden. Von Ihrem aktuellen Standort, was ist der Winkel (von Osten gemessen) der Richtung zum Hotel, und wie weit entfernt ist das Hotel? Sie können dieses Problem in Vektorschreibweise schreiben, etwa so:
Schritt 1: (20, 0)
Schritt 2: (0, 20)
Wenn diese Vektoren Addition, erhalten Sie dieses Ergebnis:
(20, 0) + (0, 20) = (20, 20)
Der resultierende Vektor ist (20, 20). Das ist ein Weg, um einen Vektor zu spezifizieren - die zugehörigen Komponenten. Aber dieses Problem zu fragen ist nicht für die Ergebnisse in Bezug auf die Komponenten. Die Frage will den Winkel und die Entfernung zum Hotel zu kennen.
Mit anderen Worten, bei der obigen Abbildung suchen, das Problem stellt,
Wenn Sie einen Vektor der vertikalen und horizontalen Komponenten kennen, finden die Größe des Vektors ist nicht so schwer, denn man muss nur die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden. Sie können den Satz des Pythagoras verwenden (x2 + y2 = h2), Gelöst für h:
in den Zahlen Anstecken gibt Ihnen
Beachten Sie, dass, wenn Sie die horizontalen und vertikalen Komponenten eines Vektors kennen, können Sie die Tangente verwenden, um die Winkel zu finden, weil
Alles, was Sie tun müssen, ist die inverse Tangente nehmen y/x:
Angenommen, Sie 20 Meilen östlich und 20 Meilen nördlich fahren. Hier ist, wie Sie feststellen,
der Winkel zwischen Ihrer ursprünglichen Position und Ihre endgültige:
So ist das Hotel etwa 28 Meilen entfernt in einem Winkel von 45 Grad.
Seien Sie vorsichtig, wenn Sie Berechnungen mit inversen Tangens tun, weil Winkel, die um 180 Grad unterscheiden sich die gleiche Tangente haben. Wenn Sie die inverse Tangente nehmen, müssen Sie hinzufügen oder 180 Grad subtrahieren, um den Ist-Winkel, die Sie wollen. Die inverse Tangens-Taste auf Ihrem Rechner werden Sie immer einen Winkel zwischen 90 Grad und -90 Grad geben. Wenn Ihr Winkel nicht in diesem Bereich liegt, dann müssen Sie 180 Grad addieren oder zu subtrahieren.
Für dieses Beispiel müssen die Antwort von 45 Grad korrekt sein. Aber eine Situation vor, in dem Sie benötigen würde, um 180 Grad addieren oder zu subtrahieren: Nehmen wir an, dass Sie in völlig entgegengesetzter Richtung zum Hotel gehen. Sie gehen 20 Meilen westlich und 20 Meilen südlich (x = -20 Meilen, y = -20 Meilen), so dass, wenn Sie die gleiche Methode verwenden, um den Winkel zu erarbeiten, erhalten Sie folgendes:
Sie erhalten die gleiche Antwort für den Winkel, obwohl Sie nach wie vor in ganz entgegengesetzter Richtung zu Fuß sind! Das ist, weil die Tangenten von Winkeln, die um 180 Grad unterscheiden sind gleich. Aber wenn man sich die Komponenten des Vektors (x = -20 Meilen, y = -20 Meilen), sie sind beide negativ, so muss der Winkel zwischen -90 Grad und -180 Grad. Wenn Sie 180 Grad aus Ihrer Antwort von 45 Grad subtrahieren, erhalten Sie -135 Grad, die Ihren tatsächlichen Winkel von der positiven x-Achse im Uhrzeigersinn gemessen wird.
Alternativ können Sie auch, dass die Vernunft, da die Komponenten des Vektors beide negativ sind, können Sie zwischen 180 Grad und 270 Grad liegen. Sie würden dann um 180 Grad Ihr Ergebnis addieren und 225 Grad erhalten, die von der positiven x-Achse im Gegenuhrzeigersinn gemessen werden würde.
Also, wobei der Winkel richtig ist, 225 Grad oder -135 Grad? Beide! Egal, ob Sie gegen den Uhrzeigersinn 225 Grad bewegen oder 135 Grad von der positiven x-Achse im Uhrzeigersinn, Sie am Ende die gleiche Richtung.