Verstehen, was eine Funktion Integrable Macht

Wenn Mathematiker diskutieren, ob eine Funktion integrierbar ist, reden sie nicht über die Schwierigkeit, Computing, die integral - oder sogar, ob ein Verfahren entdeckt worden. Jedes Jahr Mathematiker neue Wege finden, Klassen von Funktionen zu integrieren. Allerdings bedeutet diese Tatsache nicht, dass bisher nonintegrable Funktionen sind jetzt integrierbar.

In ähnlicher Weise ist das Scharnier einer Funktion Integrierbarkeit auch nicht darauf, ob ihr Integral kann leicht als eine andere Funktion dargestellt werden, ohne auf unendliche Reihe zurückzugreifen.

In der Tat, wenn die Mathematiker sagen, dass eine Funktion integrierbar ist, bedeutet sie nur, dass das Integral gut definiert - das heißt, dass die integrale mathematischen Sinn macht.

In der Praxis hängt, Integrierbarkeit auf Kontinuität: Wenn eine Funktion in einem bestimmten Intervall stetig ist, ist es integrierbar auf diesem Intervall. Außerdem, wenn eine Funktion nur eine endliche Anzahl von einigen Arten von Diskontinuitäten in einem Intervall aufweist, ist es auch integrierbar auf diesem Intervall.

Viele Funktionen - wie etwa solche mit Diskontinuitäten, scharfe Kurven und steile Hänge - sind nicht differenzierbar. Unstetige Funktionen sind auch nicht differenzierbar. Allerdings Funktionen mit scharfen Kurven und senkrechten Flanken sind integrierbar.

Zum Beispiel kann die Funktion y = |x| enthält eine scharfe Spitze an x = 0, so ist die Funktion an diesem Punkt nicht differenzierbar. Jedoch ist die gleiche Funktion integrierbar für alle Werte von x. Dies ist nur eines von unendlich vielen Beispielen für eine Funktion, die integrierbar ist, sondern in der gesamten Menge der reellen Zahlen nicht differenzierbar.

So überraschend, ist die Menge der differenzierbare Funktionen tatsächlich eine Teilmenge der Menge von integrierbaren Funktionen. In der Praxis ist jedoch die Berechnung des Integrals der meisten Funktionen schwieriger als die Ableitung berechnet wird.