Mit dem Mittelwertsatz für Integrale

Das Mittelwertsatz für Integralen gewährleistet, dass für jede bestimmte Integral existiert ein Rechteck mit der gleichen Fläche und Breite. Außerdem, wenn Sie dieses Rechteck auf dem bestimmten Integral superimpose schneidet die Spitze des Rechtecks ​​die Funktion. Dieses Rechteck, nebenbei bemerkt, heißt das Mittelwert Rechteck für das bestimmte Integral. Seine Existenz ermöglicht es Ihnen, das zu berechnen Durchschnittswert der bestimmte Integral.

Calculus prahlt zwei Mittelwertsätze - eine für Derivate und eine für Integrale. Hier finden schauen Sie auf den Mittelwertsatz für Integrale. Sie können für die Derivate über den Mittelwertsatz herauszufinden, in Analysis für Dummies von Mark Ryan (Wiley).

Der beste Weg, um zu sehen, wie dieser Satz funktioniert, ist mit einem visuellen Beispiel:

Die erste Grafik in der Abbildung zeigt den Bereich, der durch die bestimmte Integral beschrieben

Diese Region hat offensichtlich eine Breite von 1, und man kann es leicht auswerten zu zeigen, dass seine Fläche

Das zweite Diagramm in der Figur ist ein Rechteck mit einer Breite von 1 und einer Fläche von

Es sollte nicht überraschen, dass diese Höhe des Rechtecks ​​auch ist

so dass die Spitze dieses Rechtecks ​​schneidet die ursprüngliche Funktion.

Die Tatsache, dass der obere Teil der Mittelwert Rechteck die Funktion schneidet, ist vor allem eine Frage des gesunden Menschenverstandes. Schließlich stellt die Höhe dieses Rechtecks ​​den Durchschnittswert, dass die Funktion eines bestimmten Intervalls erreicht über. Dieser Wert muss irgendwo zwischen der Funktion der Maximal- und Minimalwerte auf dieses Intervall fallen.

Hier ist die offizielle Erklärung des Mittelwertsatz für Integrale: Wenn f(x) Eine stetige Funktion ist auf dem geschlossenen Intervall [ein, b], Dann gibt es eine Reihe c in diesem Intervall, so dass:

Diese Gleichung kann etwas kompliziert aussehen, aber es ist im Grunde eine Neuformulierung dieser bekannte Gleichung für die Fläche eines Rechtecks:

Fläche = Höhe # 183- Breite

Mit anderen Worten, mit einem bestimmten Integral beginnen, die einen Bereich zum Ausdruck bringt, und dann ein Rechteck mit gleicher Fläche mit gleicher Breite ziehen (b - ein). Die Höhe des Rechtecks ​​- f(c) - ist, so dass seine obere Kante die Funktion schneidet, wo x = c.

Der Wert f(c) ist der Durchschnittswert von f(x) Über das Intervall [ein, b]. Sie können es berechnen, indem die Gleichung im Satz angegeben neu anordnen:

Zum Beispiel, hier ist eine Figur, die das bestimmte Integral zeigt

und dessen Mittelwert Rechteck.

Jetzt ist hier, wie Sie den Mittelwert der schraffierten Fläche berechnen:

Es überrascht nicht, der durchschnittliche Wert dieses Integrals 30 ist, ein Wert zwischen dem Minimum der Funktion der 8 und seine maximal 64.