Der Mittelwertsatz

Sie brauchen nicht den Mittelwertsatz für viel, aber es ist ein berühmter Satz - eine der zwei oder drei wichtigsten in allen Kalkül - so dass Sie wirklich sollte es lernen. Glücklicherweise ist es sehr einfach.

Hier ist die formale Definition des Satzes.

Das mean vert theorem: Ob f ist auf dem abgeschlossenen Intervall kontinuierlich [ein, b] Und differenzierbar auf dem offenen Intervall (a, b), Dann gibt es eine Reihe c im (a, b) so dass

Jetzt für die Klartext-Version. Als erstes müssen Sie kümmern sich um die feinen Druck zu nehmen. Die Anforderungen in dem Satz, dass die Funktion nur stetig und differenzierbar sein garantieren, dass die Funktion ohne Lücken oder scharfe Ecken oder Höckern eine regelmäßige, glatte Funktion ist. Aber weil nur ein paar seltsame Funktionen haben Lücken oder spitzen Kurven, Sie haben nicht oft über diese Feinheiten zu kümmern.

Okay, also hier ist es, was der Satz bedeutet. Die Sekantenlinie Verbindungsstellen (a, f(ein)) und (b, f(bin der Figur)) hat eine Neigung gegeben durch die Formel:

Beachten Sie, dass dies dasselbe wie die rechte Seite der Gleichung in dem Mittelwertsatz ist. Die Ableitung an einem Punkt ist das gleiche wie die Steigung der Tangente an diesem Punkt, so dass der Satz sagt nur, dass es mindestens einen Punkt muss zwischen ein und b wobei die Steigung der Tangentenlinie ist die gleiche wie die Steigung der Sekante von ein nach b.

Warum muss das so sein? Hier ist ein visuelles Argument. Stellen Sie sich vor, dass Sie die Sekantenlinie greifen verbinden (ein, f(ein)) und (b, f(b)), Und schieben Sie es auf, um es in die ursprüngliche Sekantenlinie parallel zu halten. Können Sie sehen, dass die beiden Schnittpunkte zwischen dieser Schiebelinie und der Funktion - die beiden Punkte, die zu beginnen (ein, f(ein)) und (b, f(b)) - Wird allmählich näher und näher zueinander, bis sie zusammenkommen, um (c, f(c))?

Wenn Sie die Zeile weiter erhöhen, brechen Sie aus der Funktion vollständig entfernt. An diesem letzten Punkt der Kreuzung (c, f (c)), Berührt die gleitende Linie die Funktion an einem einzigen Punkt und ist somit Tangente dort auf die Funktion, während die gleiche Steigung wie die ursprüngliche Sekantenlinie haben.

Hier ist eine ganz andere Art von Argument, das auf Ihren gesunden Menschenverstand appellieren sollte. Wenn die Funktion in der Figur gibt als Funktion der Zeit Kilometerstand Ihres Auto, dann die Steigung der Sekante von ein nach b gibt Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit während dieses Zeitintervall, weil die Entfernung Teilung gereist, f(b) - f(ein), Durch die verstrichene Zeit, b - ein, gibt Ihnen die durchschnittliche Geschwindigkeit. Die Stelle (c, f(c)), Durch den Mittelwertsatz garantiert, ist ein Punkt, an dem Sie Ihre momentane Geschwindigkeit - durch die Ableitung gegeben f# 180- (c) - Gleich Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit.

Nun stelle man sich, dass Sie ein Laufwerk nehmen und durchschnittlich 50 Meilen pro Stunde. Die Mittelwertsatz garantiert, dass Sie gehen genau 50 mph für während der Fahrt bei mindestens einem Moment. Denk darüber nach. Ihre Durchschnittsgeschwindigkeit kann nicht 50 sein mph wenn Sie gehen langsamer als 50 den ganzen Weg oder wenn Sie schneller als 50 den ganzen Weg. Also, um durchschnittlich 50 mph, Entweder Sie gehen genau 50 für das gesamte Laufwerk, oder Sie müssen gehen langsamer als 50 für einen Teil des Antriebs und schneller als 50 zu anderen Zeiten. Und wenn du gehst, weniger als 50 an einem Punkt und mehr als 50 zu einem späteren Zeitpunkt (oder umgekehrt), müssen Sie treffen genau 50 mindestens einmal, wie Sie beschleunigen (oder zu verlangsamen). Sie können nicht mehr als 50 springen - wie du bist 49 ein Moment 51 gehen dann die nächste - weil Geschwindigkeiten steigen durch gleitend oben auf der Skala springen, nicht. Also, an einem gewissen Punkt, Ihr Tacho gleitet letzten 50 Meilen pro Stunde und für mindestens einen Augenblick, Sie gehen genau 50 mph. Das ist alles, der Mittelwertsatz sagt.