Wie Kompositionen von Funktionen zu integrieren
Kompositionen von Funktionen - das heißt, eine Funktion innerhalb einer anderen verschachtelt - sind von der Form f(G(x)). Sie können ihnen bei der Integration durch Substitution u = G(x) wann
Sie wissen, wie die äußere Funktion zu integrieren f.
Die innere Funktion G(x) Unterscheidet auf einen konstanten - das heißt, es ist von der Form Axt oder Axt + b.
Hier ist ein Beispiel. Nehmen wir an, dass Sie die Funktion integrieren möchten, csc2 (4x + 1).
Dies ist eine Zusammensetzung von zwei Funktionen:
Die äußere Funktion f ist die csc2 (u) -Funktion.
Die innere Funktion ist G(x) = 4x + 1, die differenziert auf die konstante 4.
Die Zusammensetzung wird zusammengehalten durch die Gleichheit u = 4x + 1. Das heißt, die zwei Grundfunktionen f(u) = Csc2 u und G(x) = 4x + 1are durch die Gleichheit zusammengesetzt u = 4x + 1 zu erzeugen, um die Funktion f(G(x)) = Csc2 (4x + 1).
Beide Kriterien erfüllt sind, so dass dieses Integral ist ein heißer Kandidat für die Substitution mit u = 4x + 1. Hier ist, wie Sie es tun:
Deklarieren Sie eine Variable u und ersetzen sie in den integrierten:
Unterscheiden u = 4x + 1 und zu isolieren, die x Begriff.
Dies gibt Ihnen die Differential, du = 4dx.
Ersatz du/ 4 für dx in dem Integral:
Bewerten Sie die Integral:
Ersetzen Sie zurück 4x + 1 für u:
Hier ist ein weiteres Beispiel. Nehmen wir an, dass Sie das folgende Integral ausgewertet werden soll:
Dies ist eine Zusammensetzung von zwei Funktionen:
Die äußere Funktion f ein Bruchteil ist - technisch, ein Exponent von -1 - was Sie wissen, wie zu integrieren.
Die innere Funktion ist G(x) = x - 3, die 1 unterscheidet.
Die Zusammensetzung wird zusammengehalten durch die Gleichheit u = x - 3. Das heißt, die zwei Grundfunktionen
werden durch die Gleichheit zusammengesetzt u = x - 3 zu erzeugen, um die Funktion
Die Kriterien erfüllt sind, so dass Sie mit Hilfe der Gleichheit integrieren u = x - 3:
Deklarieren Sie eine Variable u und ersetzen sie in den integrierten:
Unterscheiden u = x - 3 und zu isolieren, die x Begriff.
Dies gibt Ihnen die Differential du = dx.
Ersatz du für dx in dem Integral:
Bewerten Sie die Integral:
= Ln |u| + C
ersetzen Sie zurück x - 3 für u:
= Ln |x - 3 | + C