Ausdruck und Unter Annäherung an Funktionen Verwendung der Taylor-Reihe

Es ist wichtig, den Unterschied zwischen zu verstehen expressing eine Funktion als eine unendliche Reihe und einpproximating eine Funktion, die durch eine endliche Anzahl von Termen der Serie. Sie können als ein Polynom einer Potenzreihe denken mit unendlich vielen Begriffen (Taylor-Polynom).

Jede Taylorreihe stellt den exakten Wert einer Funktion für alle Werte von x wo die Reihe konvergiert. Das heißt, für jeden Wert von x auf seiner Konvergenzintervall konvergiert eine Taylor-Reihe zu f(x).

Hier ist die Taylor-Reihe in seiner ganzen Pracht:

In der Praxis ist jedoch eine unendliche Anzahl von Begriffen addieren ist einfach nicht möglich. Dennoch können Sie den Wert von annähernd f(x) Durch eine endliche Anzahl von der entsprechenden Taylor-Reihe hinzugefügt wird.

Ein Ausdruck aus einer endlichen Anzahl von Termen einer Taylorreihe gebaut genannt Taylor-Polynom, T_n(x). Wie andere Polynome wird ein Taylor-Polynom von Grad identifiziert. Zum Beispiel, hier ist der fünfte Grad Taylor-Polynom, T₅(x), Die approximiert e^x:

Im Allgemeinen ist ein höherer Grad Polynom ergibt eine bessere Annäherung. Für den Wert von e^x wann x in der Nähe von 100 ist, erhalten Sie eine gute Schätzung durch ein Taylor-Polynom für e^x mit ein = 100:

Zusammenfassend ist folgendes zu beachten:

• Eine konvergente Taylorreihe drückt den genauen Wert einer Funktion.

• Ein Taylor-Polynom, T_n(x) Aus einer konvergenten Reihe approximiert den Wert einer Funktion.