Arbeiten über Domains Beispiel: Nehmen Sie die RC-Tiefpassfilter zur Z-Domain

Arbeiten über mehrere Domains ist eine Tatsache des Lebens als ein Computer und Elektronik-Ingenieur. realen Computer und Elektrotechnik Aufgaben lösen müssen Sie die Vielzahl von Signalen und Systemen Konzepte und Techniken zu assimilieren und sie in eine intelligente und effiziente Art und Weise anzuwenden. Hier ist ein Beispiel Problem, das zeigt, wie die Analyse und Modellierung über die Zeit, Frequenz und s-

und z-Domains tatsächlich funktioniert.

Dieses Beispiel funktioniert über Dauer- und diskrete Zeitsysteme.

Der Vorwiderstand Shunt-Kondensator (RC) Tiefpassfilter ist ein Beispiel eines LTI-System, das von einer ersten Ordnung LCC Differentialgleichung dargestellt wird. Hier ist die Formel für die Impulsantwort und die Systemfunktion:

RC konstant ist, die Zeit mit dem Vorwiderstand und Shunt-Kondensator zugeordnet ist, die die Filterschaltung definiert. Dieses Problem stellt Ihnen eine einfache diskrete Zeitfilter äquivalent zu finden.

Annehmen h[n] = h(nT) = h(n/f_s). Die Laplace-Transformation (LT) von h(t) Im Anschluss an die Probenahme

Dieses Ergebnis zeigt, dass eine zeitkontinuierliche Impuls Abtasten Antwort bildet die s-Flugzeug auf die z-Flugzeug über z = e^sT. (Diese Verbindung ist Teil der Figur.) Für das RC-Filter-Impulsantwort insbesondere der Pol an s = -1 / (RC) Auf einen Pol kartiert an z = e^-T/RC in dem z-Ebene.

weil e^-T/(RC) lt; 1, ist der Pol stabil. Formal wird dies als ein Impuls invariant Filter-Design und ermöglicht es Ihnen, eine kontinuierliche Zeitfilter auf die diskreten Zeitbereich zu übertragen.

Im weiteren Sinne ist die z = e^sT Transformation bildet die linke-Hälfte s-Flugzeug auf das Innere des Einheitskreises in der z-Flugzeug und das Recht, die Hälfte s-Flugzeug nach der Außenseite des Einheitskreises in der z-Ebene. Das j # 969--Achse des s-Ebene abbildet zum Einheitskreis, das ist, in dem j # 969- liegt in der z-Ebene.

Die Zuordnung erfolgt wiederholt wegen der Stichprobentheorie. Aliasing der Filterfrequenzgang tritt auch auf, wenn es nicht bandbegrenzt ist (Null) für f > f_s/ 2.

Um die Filter-Design abgeschlossen ist, legen Sie die abgetastete Impulsantwort in der z-Transformationsdefinition:

Feinabstimmung der Entwurf für die Umsetzung

Dieser Filter ist wie h[n] = einⁿu[n] Für 0 lt; ein lt; 1, mit dem Skalierungsfaktor 1 / (RC) und ein = e^{-T/ (RC)}. Ein Detail bleibt, dass das Design Verfahren nicht gekümmert, und das ist sicherzustellen, dass die Filterverstärkung bei Frequenzen erhalten bleibt, insbesondere f = 0.

In dem kontinuierlichen Zeitbereich bedeutet dies Befund H(s = j0) = 1 / (RC) / [j0 + 1 / (RC)] = 1 und einen Verstärkungsfaktor der Wahl G platzieren vor H_RC(z) Auch den Verstärkungsfaktor zu zwingen, um eine an z = e^j0 = 1:

Am Ende, mit G Wert enthalten, haben Sie

Um tatsächlich diesen Filter in einer Anwendung zu implementieren, müssen Sie den Unterschied Gleichung Darstellung dieses Filters. Die Systemfunktion ist das Verhältnis der Leistung über den Eingang in die z-Domain: H_RC(z) = Y(z) /X(z). Um den Unterschied zu Gleichung zu finden, müssen Sie zunächst Quer multiplizieren X(z) Mal der Zähler von H_RC(z) Auf der rechten Seite und Quer multiplizieren den Nenner mal X(z) auf der Linken:

Als nächstes gilt die inverse z-Transformation auf der linken und der rechten Seite, um die Linearität und Verzögerung Eigenschaften der Verwendung von z-verwandeln:

Machen Sie den Python Frequenzgang Vergleich

Verwenden Sie Python einen kurzen Blick auf den Frequenzgang Größe des ursprünglichen analogen Filter und das digitale Filter Realisierung zu nehmen. Der analoge Tiefpassfilter-Zeitkonstante wird auf dem Filter 3dB-Grenzfrequenz bezogen (wobei 20log₁₀|H(f_3dB) | = -3,0) Über f_3dB = 1 / (2# 960-RC).

Hier stellen f_3dB = 100 Hz und Sweep der Frequenz logarithmisch von 0,1 Hz bis 100 kHz. Stellen Sie die Abtastrate f_s = 1 /T = 200 KHz und erkennen, daß das digitale Filter nützlich sein wird, nur für 0 # 8804- f # 8804- f_s/ 2 in Hertz oder die folgende in Radiant pro Probe:

Der Frequenzgang Größe in dB für beide Filter wird in der folgenden Abbildung dargestellt. Beachten Sie insbesondere die Antworten überlappen, außer wenn f sehr nahe an der Faltungsfrequenz 100 kHz.

Im [25]: F = logspace (-1,5,500) In [26]: RC = 1 / (2 * pi * 100) In [27]: W, Hs = signal.freqs ([1 / RC], [1,1 / RC], 2 * pi * f) In [28]: A = exp (-1 / (RC * 2E5)) In [29]: W, Hz = signal.freqz ([1-a], [1, -a], 2 * pi * f / 2E5) In [30]: Semilogx (f, 20 * log10 (abs (Hs))) In [31]: Semilogx (f, 20 * log10 (abs (Hz))) In [32]: Achse ([1e-1,1e5, -60,5])

Die Antwort Vergleich zwischen den beiden Filtern ist gut. Die Tatsache, dass die digitale Filterantwort liegt oberhalb der analogen Reaktion nahe f_s/ 2 resultiert in der Frequenzantwort zu Aliasing. Alternative Digitalfilter Design-Ansätze können diese zu mildern, aber nicht ohne Kompromisse. Das ist Technik.