Vereinfachen und Factoring Expressions

In der Algebra, die Vereinfachung und Factoring Ausdrücke sind entgegengesetzte Prozesse. Vereinfachen einen Ausdruck

oft bedeutet, Entfernen ein Paar von parentheses- Factoring einen Ausdruck oft bedeutet, bewirbt sich Sie.

Angenommen, Sie beginnen mit dem Ausdruck 5x(2x² - 3x + 7). Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, entfernen Sie die Klammern um 5 multipliziertx die von jedem der drei Terme in Klammern:

= 10x³ - 15x² + 35x

Sie können die resultierende Ausdruck Faktor durch die Klammern zu ersetzen: Einfach jeden Begriff um einen Faktor von 5 teilenx:

5x(2x² - 3x + 7)

Die beiden Formen dieses Ausdrucks - 5x(2x² - 3x + 7) und 10x² - 15x² + 35x - äquivalent sind. Weder Form ist besser als das andere. Aber, in Abhängigkeit von den Umständen kann eine Form nützlicher sein.

Vereinfachen unordentlich Ausdrücke

Sie können die Vereinfachung verwenden chaotisch Ausdrücke zu bereinigen und machen sie leichter zu handhaben. Angenommen, Sie mit dem folgenden Ausdruck arbeiten:

So reinigen Sie es, zunächst den Nenner zu vereinfachen:

Dann kombinieren Sie ähnliche Begriffe in der denominator- feststellen, dass die x² Begriffe gegenseitig aufheben.

Diese Fraktion sieht viel einfacher, aber man kann durch Factoring sowohl den Zähler und Nenner noch weiter vereinfachen:

Jetzt können Sie einen Faktor stornieren x + 1 und vereinfachen die resultierende Fraktion wie folgt:

Durch eine Kombination von Vereinfachung und Factoring, schaltet sich das komplizierte aussehende Ausdruck eine sehr einfache, konstant zu sein out!

Factoring quadratischen Polynome

Factoring kann schwierig sein, vor allem, wenn Sie ein Polynom mit großen Koeffizienten zu Faktor, wie zum Beispiel 15x² + 47 - 10. Hier ist eine einfache Möglichkeit, quadratische Polynome der Form Faktor einx² + bx + c:

1. Beginnen Sie mit einem großen X zeichnen, den Wert platzieren ac in der oberen quadrantand b im unteren Quadranten.

   Angenommen, Sie das Polynom Faktor wollen 6x² + 11x + 4. Beachten Sie, dass in diesem Polynom, ein = 6, b = 11, und c = 4. In diesem Problem ac = 6x4 = 24 und b = 11.

   

2. Finden Sie ein Paar von Zahlen, multiplizieren nach oben Nummer und hinzufügen auf die untere Zahl, und legen Sie diese in den beiden Seiten Quadranten (die Reihenfolge spielt keine Rolle).

   Für das Beispiel möchten Sie ein Paar von Zahlen zu finden, die zu 24 multipliziert und summiert sich auf 14 Beginnen Sie mit der Auflistung aller Faktor Paare 24: 1x24, 2x12, 3x8 und 4x6. Beachten Sie, dass 3 + 8 = 11, so dass dies die richtige Zahlenpaar ist.

   

3. Machen Sie zwei Fraktionen mit Axt für den Zähler und den beiden Zahlen, die Sie in den Seiten Quadranten als Nennern platziert.

   Hier wird der Wert Axt = 6x, und die Zahlen in den beiden Seiten Quadranten 3 und 8:

   

4. Reduzieren Sie diese beiden Fraktionen zu niedrigsten Bedingungen (wobei die Ergebnisse sowohl mit einem Zähler und Nenner).

   

5. Zum Beenden des Vorgangs, fügen Sie den Zähler und Nenner jeder Fraktion, die beiden Faktoren des ursprünglichen Polynom zu finden.

   

   Daher 6x² + 11 + 4 = (2x + 1) (3x + 4)

Nun versuchen die gleiche Methode auf dem schwieriger Polynom 15x² + 47x - 10. In diesem Fall ein = 15, b = 47, und c = -10.

1. Beginnen Sie mit einem großen X zeichnen, den Wert platzieren ac in der oberen quadrantand b im unteren Quadranten.

   In diesem Problem, ac = 15 x -10 = -150 und b = 47.

   

2. Finden Sie ein Paar von Zahlen, multiplizieren nach oben Nummer und hinzufügen auf die untere Zahl, und legen Sie diese in den beiden Seiten Quadranten (die Reihenfolge spielt keine Rolle).

   Sie suchen für ein Paar von Zahlen suchen, der auf -150 multiplizieren, so eine Zahl ist positiv und die andere negativ ist. Und diese beiden Zahlen addieren auch bis 47 auf, so dass die positive Zahl der "größeren" der beiden Zahlen ist.

   So, hier sind die Faktorpaare, die funktionieren: -1x150, -2x75, -3x50, -5x30, -6x25 und -10x15. Beachten Sie, dass -3 + 50 = 47, so ist dies die richtige Zahlenpaar.

   

3. Machen Sie zwei Fraktionen mit Axt für den Zähler und den beiden Zahlen, die Sie in den Seiten Quadranten als Nennern platziert.

   Hier wird der Wert Axt = 15x, und die Zahlen in den beiden Seiten Quadranten -3 und 50:

   

4. Reduzieren Sie diese beiden Fraktionen zu niedrigsten Bedingungen (wobei die Ergebnisse sowohl mit einem Zähler und Nenner).

   

5. Zum Beenden des Vorgangs, fügen Sie den Zähler und Nenner jeder Fraktion, die beiden Faktoren des ursprünglichen Polynom zu finden.

   

   Daher 15x² + 47x - 10 = (5x - 1) (3x + 10).