Wie die Grenze von einer Funktion zu finden Algebraisch
Wenn Ihr Pre-Kalkül Lehrer bittet die Grenze einer Funktion algebraisch zu finden, haben Sie vier Techniken zur Auswahl: Einstecken in die x
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Der beste Ort zu beginnen, ist die erste Technik. Sie können nur diese Technik verwenden, wenn die Funktion bei der stetig x Wert, bei dem Sie nehmen die Grenze. Wird die Funktion auf diese undefined x Wert, müssen Sie sich bei den anderen Techniken bewegen Ihre Funktion zu vereinfachen, so dass Sie bei der genähert Wert stecken kann x.
Finden Sie die Grenze durch Einstecken in die x Wert
Die erste Technik zur algebraischen für eine Begrenzung der Lösung ist es, die Zahl Stecker, x ist in die Funktion nähert. Wenn Sie einen nicht definierten Wert (0 im Nenner) zu erhalten, müssen Sie auf einer anderen Technik bewegen. Aber wenn Ihre Funktion ist, dass eine kontinuierliche x Wert, erhalten Sie einen Wert, und Sie sind done- Sie Ihr Limit gefunden habe! Zum Beispiel mit dieser Methode können Sie diese Grenze finden:
Die Grenze ist 3, weil f(5) = 3, und diese Funktion ist kontinuierlich an x = 5.
Finden Sie die Grenze von Factoring
Factoring ist die Methode, um zu versuchen, beim Einstecken versagt - vor allem, wenn ein Teil der gegebenen Funktion ein Polynom Ausdruck ist.
Sagen Sie gefragt werden, diese Grenze zu finden:
Sie versuchen, zuerst 4 in die Funktion zu stecken, und Sie 0 im Zähler erhalten und der Nenner, die Sie auf dem Weg zu den nächsten Technik erzählt. Die quadratische Ausdruck im Zähler schreit, damit Sie es Factoring zu versuchen. Beachten Sie, dass der Zähler der vorherigen Funktionsfaktoren (x - 4) (x - 2). Das x - 4 hebt auf der Oberseite und der Unterseite der Fraktion. Dieser Schritt lässt Sie mit f(x) = x - 2. Sie können 4 in diese kontinuierliche Funktion Stecker auf 2 erhalten.
Wenn Sie diese Funktion grafisch darzustellen, sieht es aus wie die gerade Linie f(x) = x - 2, aber es hat ein Loch, wenn x = 4, da die ursprüngliche Funktion ist es noch nicht definiert ist (weil es 0 im Nenner schafft). Die Figur zeigt dies.
Wenn, nachdem Sie den oberen und unteren Teil der Fraktion berücksichtigt habe, habe ein Term im Nenner nicht abbrechen und den Wert, den Sie suchen ist nicht definiert, die Grenze der Funktion bei diesem Wert von x existiert nicht (die man schreiben kann, wie DNE).
Zum Beispiel wird diese Funktion Faktoren wie gezeigt:
Das (x - 7) auf der oberen und unteren abzubrechen. Also, wenn Sie gefragt werden, die Grenze der Funktion zu finden, wie x Ansätze 7, könnten Sie 7 in die abgesagt Version Plug-and-11/8 erhalten. Aber wenn Sie versuchen, zu finden
die Grenze DNE, da Sie 0 auf den Nenner bringen würde. Diese Funktion hat daher eine Grenze überall mit Ausnahme der x Ansätze -1.
Finden Sie die Grenze, die durch den Zähler zu rationalisieren
Die dritte Technik, die Sie müssen wissen, Grenzen zu finden, müssen Sie algebraisch den Zähler zu rationalisieren. Funktionen, die diese Methode erfordert haben eine Quadratwurzel im Zähler und einen Polynomausdruck im Nenner. Zum Beispiel, sagen Sie aufgefordert, die Grenze dieser Funktion zu finden, wie x Ansätze 13:
Anstecken Zahlen schlägt fehl, wenn Sie 0 im Nenner des Bruchs erhalten. Factoring schlägt fehl, da die Gleichung kein Polynom zu Faktor hat. In dieser Situation, wenn Sie den Zähler und Nenner mit dem Konjugat des Zählers multiplizieren, der Ausdruck im Nenner, der ein Problem war aufhebt, und Sie werden die Grenze der Lage zu finden:
Multiplizieren die Ober- und Unterseite der Fraktion, die durch das Konjugat.
Das Konjugat des Zählers ist
Multipliziert man durch, können Sie dieses Setup erhalten:
Foil den Zähler zu erhalten
Dies vereinfacht zu x - 13 (die mittleren beiden Bedingungen kündigen und Sie kombinieren wie Begriffe aus der Folie).
Abbrechen Faktoren.
Canceling gibt Ihnen diesen Ausdruck:
Das (x - 13) Bedingungen aufheben, Sie mit diesem Ergebnis zu verlassen:
Berechnen Sie die Grenzen.
Wenn Sie 13 in die Funktion anschließen, erhalten Sie 1/6, welche die Grenze.
Finden Sie die Grenze, die durch den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden,
Wenn Sie eine komplexe rationale Funktion gegeben sind, verwenden Sie die vierte und letzte algebraische Grenze Findungs Technik. Die Technik des Verstopfens fehlschlägt, weil man mit einer 0 in eine der Nennern enden. Die Funktion ist nicht factor, und Sie haben keine Quadratwurzeln zu rationalisieren. Daher wissen Sie, auf die letzte Technik zu bewegen. Mit dieser Methode kombinieren Sie die Funktionen, die durch den kleinsten gemeinsamen Nenner zu finden (LCD). Die Bedingungen kündigen, an welcher Stelle Sie die Grenze finden.
Zum Beispiel, folgen Sie den Schritten, um die Grenze zu finden:
Finden Sie den LCD der Fraktionen auf der Oberseite.
Verteilen Sie die Zähler auf der Oberseite.
Hinzufügen oder die Zähler subtrahieren und dann Bedingungen kündigen.
die Zähler Subtrahierend gibt Ihnen
die dann vereinfacht sich zu
Verwenden Sie die Regeln für die Fraktionen weiter zu vereinfachen.
Ersetzen Sie den Grenzwert in dieser Funktion und zu vereinfachen.
Sie wollen die Grenze zu finden, wie x gegen 0, so dass hier die Grenze -1/36.