Integrieren einer Funktion mit den Tangent Fall

Wenn die Funktion enthält Sie die Integration einer Laufzeit von der Form (ein² + x²)ⁿ, ziehen Sie Ihre Trigonometrie Substitution Dreieck für die Tangente Fall. Angenommen, dass Sie das folgende Integral ausgewertet werden soll:

Dies ist eine Tangente Fall, weil eine Konstante plus ein Vielfaches von x² wird an eine Strom (-2) angehoben. Hier ist, wie Sie Substitution verwenden trig zu integrieren:

1. Zeichnen Sie die trigonometrische Substitution Dreieck für die Tangente Fall.

   

   Die Abbildung zeigt Ihnen, wie Sie in das Dreieck für die Tangente Fall zu füllen. Beachten Sie, dass der Rest von dem, was in den Klammern ist auf das geht Hypotenuse des Dreiecks. Dann wird in den beiden anderen Seiten des Dreiecks, verwenden Sie die Quadratwurzeln aus den beiden Begriffen innerhalb des radikalen zu füllen - das heißt, 2 und 3x. Setzen Sie den konstanten Term 2 auf der benachbarten Seite und den variablen Term 3x auf der gegenüberliegenden Seite.

   Mit dem Tangens Fall sicher nicht Ihre Platzierung der variablen und der konstanten zu mischen.

2. Identifizieren der getrennten Stücke des Integrals (einschließlich dx), Die Sie brauchen in Bezug auf die Theta auszudrücken.

   In diesem Fall enthält die Funktion zwei getrennte Stücke, die enthalten x:

   

3. Express diese Stücke in Bezug auf die trigonometrischen Funktionen von Theta.

   In der Tangente Fall alle trig-Funktionen zunächst als Tangenten und Sekanten ausgedrückt werden sollte.

   Zur Darstellung der rationale Teil als trigonometrische Funktion von Theta, bauen den Rest einer Fraktion mit

   

   als Zähler und der Konstanten 2 als Nenner. Dann setzen Sie diese Fraktion in Höhe der entsprechenden trigonometrische Funktion:

   

   Weil diese Fraktion ist die Hypotenuse des Dreiecks über die benachbarten Seiten

   

   es ist gleich

   

   Verwenden Sie nun Algebra und Trigonometrie Identitäten diese Gleichung in Form zu optimieren:

   

   Als nächstes auszudrücken dx als trigonometrische Funktion von Theta. Dazu bauen so, eine andere Fraktion, die mit der Variablen 3x im Zähler und die Konstante 2 in den Nenner:

   

   Diesmal ist die Fraktion, die die gegenüberliegende Seite des Dreiecks über die benachbarten Seiten

   

   so ist es gleich

   

   Jetzt lösen für x und dann zu unterscheiden:

   

4. Express das Integral in Bezug auf die Theta und auswerten:

   

   Jetzt sind einige Stornierung und Reorganisation erweist sich dies böse aussehenden integral in etwas überschaubar:

   

   An dieser Stelle können Sie dieses Integral zu bewerten:

   

   Also hier ist die Substitution:

   

   Und hier ist die antiderivative:

   

5. Ändern Sie die zwei Theta Begriffe wieder in x Bedingungen:

   Sie müssen einen Weg finden, um Theta in Bezug auf die zum Ausdruck bringen x. Hier ist die einfachste Art und Weise:

   

   Also hier ist eine Substitution, die Ihnen eine Antwort gibt:

   

Diese Antwort ist gültig, aber die meisten Professoren werden nicht über diese hässliche zweite Begriff, mit dem Sinus eines Arkustangens verrückt sein. Zur Vereinfachung gelten die Doppelwinkelsinus Formel

Verwenden Sie nun Ihre trig Substitution Dreieck Werte zu ersetzen, für

bezüglich x:

Schließlich verwenden dieses Ergebnis die Antwort in Bezug auf Ausdruck bringen x: