Analysieren eines parallelen RL Schaltung mit einer Differentialgleichung

Ein erster Ordnung RL parallel Schaltung einen Widerstand (oder ein Netz von Widerständen) und eine einzige Induktionsspule. Erster Ordnung Schaltungen erster Ordnung Differentialgleichungen werden analysiert. ein erster Ordnung Schaltung Durch die Analyse können Sie das Timing und Verzögerungen zu verstehen.

Analysieren solchen Parallelschaltung RL, wie das hier gezeigt ist, folgt dem gleichen Verfahren, wie ein RC-Reihenschaltung zu analysieren. Also, wenn Sie mit diesem Verfahren vertraut sind, sollte dies ein Kinderspiel.

Wenn Ihr RL Parallelschaltung eine Induktivität mit einem Netzwerk von Widerständen und nicht einen einzigen Widerstand angeschlossen ist, können Sie die gleiche Methode verwenden, um die Schaltung zu analysieren. Aber müssen Sie zuerst das Norton Äquivalent zu finden, das Widerstandsnetzwerk auf einen einzigen Widerstand parallel zu einer einzigen Stromquelle zu reduzieren.

Beginnen Sie mit dem einfachen RL Parallelschaltung

Weil der Widerstand und die Induktivität in parallel im Beispiel verbunden sind, müssen sie die gleiche Spannung haben, v (t). Der Widerstand Strom ich_R(T) Ohmsche Gesetz ist auf Basis von:

Das Element Einschränkung für eine Induktivität ist gegeben als

woher es) ist der Drosselstrom und L ist die Induktivität.

Sie benötigen einen Wechsel Stromspannung über eine Induktivität zu erzeugen. Wenn der Drosselstrom nicht ändert, gibt es keine Induktionsspannung, die einen Kurzschluss impliziert.

Jetzt ersetzen v (t) = Ldi (t) / dt Ohmsche Gesetz in, weil Sie haben die gleiche Spannung über dem Widerstand und der Induktivität:

Kirchhoff geltendem Recht (KCL) sagt, dass die eingehenden Ströme zu den abgehenden Ströme an einem Knoten gleich sind. Verwenden Sie KCL am Knoten A der Probe Schaltung zu erhalten ich_N(T) = i_R(T) = i (t).

Ersatz ich_R(T) in die KCL Gleichung Sie geben

Die RL Parallelschaltung ist ein erster Ordnung Schaltung, da sie von einer ersten Ordnung Differentialgleichung beschrieben ist, wo die unbekannte Variable der Drosselstrom ist es). Eine Schaltung einen einzigen äquivalenten Induktor und einen äquivalenten Widerstand enthält, ist ein erster Ordnung Schaltung.

der Drosselstrom Wissen, gibt Ihnen die magnetische Energie in einem Induktor gespeichert.

Im allgemeinen wird der Drosselstrom als eine Zustandsvariable bezeichnet, weil der Induktionsstrom um das Verhalten der Schaltung beschreibt.

Berechnen der NULLEINGABE-Antwort für eine Parallelschaltung RL

Hier ist, wie die RL-Parallelschaltung ist in zwei Probleme aufgespalten: die Null-Eingangsantwort und der Null-Zustand Reaktion. Hier werden Sie durch die Analyse der Null-Eingangsantwort zu starten.

Zur Vereinfachung stellen Sie die Eingangsquelle (oder Zwangsfunktion) gleich 0: ich_N(T) = 0 Ampere. Dies bedeutet, dass keine Eingangsstrom für alle Zeit - eine große, fette Null. Die erste Ordnung Differentialgleichung reduziert sich auf

Für eine Eingangsquelle kein Strom, der Induktorstrom ich_Zich genannt wird, ein Null-Eingangsantwort. Keine äußeren Kräfte wirken auf die Schaltung mit Ausnahme seiner Anfangszustand (oder Drosselstrom, in diesem Fall). Der Ausgang ist aufgrund anfänglicher Drosselstrom ich₀ zum Zeitpunkt t = 0.

Sie machen eine vernünftige Vermutung an der Lösung (der natürlichen Exponentialfunktion!) Und ersetzen Sie Ihre Vermutung in erster Ordnung Differentialgleichung RL. Angenommen, die Drosselstrom und Lösung zu sein

ich_ZI(T) = Be^kt

Dies ist eine vernünftige Vermutung, da die zeitliche Ableitung eines exponentiellen ist auch eine exponentiell. Wie ein guter Freund, wird die Exponentialfunktion nicht im Stich lassen, wenn diese Differentialgleichungen zu lösen.

Sie bestimmen die Konstanten B und k Nächster. Ersetzen Sie Ihre Vermutung ich_ZI(T) = Sein^kt in die Differentialgleichung:

Ersetzung ich_ZI(T) mit Sein^kt und einige mathematische tun gibt Ihnen die folgenden:

Sie haben die charakteristische Gleichung nach Ausklammerung Sein^kt:

Die charakteristische Gleichung gibt Ihnen eine algebraische Problem für die Konstante zu lösen k:

Benutzen k = -R / L und die anfängliche Drosselstrom ich₀ beim t = 0. Dies bedeutet, dass B = I₀, so dass die Null-Eingangsantwort ich_ZI(T) gibt Ihnen die folgenden:

Die Konstante L / R genannt wird, die Zeitkonstante. Die Zeitkonstante ist ein Maß dafür, wie lange ein Drosselstrom von einem Zustand in einen anderen zu 0 oder ändern zu gehen braucht.

Um zu analysieren, weiter die RL Parallelschaltung, müssen Sie die Null-Zustand Reaktion der Schaltung zu berechnen, und fügen Sie dann das Ergebnis an den Null-Eingangsantwort der Gesamtantwort für die Schaltung zu finden.