Analysieren Sie eine RLC-Schaltung Laplace Methoden

Unter Verwendung der Laplace als Teil Ihrer Schaltungsanalyse Transformation liefert Ihnen eine Vorhersage der Schaltung Antwort. Analysieren Sie die Pole der Laplace-Transformation eine allgemeine Vorstellung von Ausgangsverhalten zu bekommen. Echt Pole, zum Beispiel, zeigen exponentielles Ausgabeverhalten.

Führen Sie die folgenden Schritte, um eine Schaltung mit Laplace-Techniken zu analysieren:

1. Entwickeln Sie die Differentialgleichung in der Zeitdomäne Kirchhoffschen Gesetze und Elementgleichungen.

2. Tragen Sie die Laplace-Transformation der Differentialgleichung die Gleichung zu setzen in der s-Domain.

3. Algebraisch lösen für die Lösung oder Antwort zu transformieren.

4. Gelten die inverse Laplace-Transformation, die Lösung auf den ursprünglichen Differentialgleichung in der Zeitdomäne beschrieben herzustellen.

Um komfortabel mit diesem Prozess, müssen Sie einfach üben sie auf verschiedene Arten von Schaltungen wie zum Beispiel ein RC (Widerstand-Kondensator-Schaltung) Anlegen einer RL (Widerstand-Induktivität) Schaltung und einer RLC (Widerstand-Induktor-Kondensator-Schaltung) .

Hier finden Sie eine RLC-Schaltung, in der zu sehen der Schalter geöffnet war für eine lange Zeit. Der Schalter wird zum Zeitpunkt geschlossen t = 0.

In dieser Schaltung haben Sie die folgende Gleichung KVL:

v_R(T) + v_L(T) + v (t) = 0

Als nächstes formulieren das Element Gleichung (oder i-v Charakteristik) für jedes Gerät. Ohmsche Gesetz beschreibt die Spannung am Widerstand (bemerkt, daß i (t) = i_L(T) da die Schaltung in Reihe geschaltet ist, wobei I (s) = I_L(S) sind die Transformationen Laplace):

v_R(T) = i (t) R

Die Element-Gleichung Induktor ist gegeben durch

Und das Element Gleichung des Kondensators

Hier, v_C(0) = V₀ ist der Anfangszustand, und es ist auf 5 Volt gleich.

Setzt man die Elementgleichungen, v_R(T), v_C(T), und v_L(T), in die KVL Gleichung Sie die folgende Gleichung (mit einem ausgefallenen Namen gibt: die Integro-Differentialgleichung):

Der nächste Schritt ist die Laplace anzuwenden auf die vorhergehende Gleichung Transformation eine zu finden I (s) daß erfüllt die integro-Differentialgleichung für einen gegebenen Satz von Anfangsbedingungen:

Die vorstehende Gleichung verwendet die Linearitätseigenschaft so dass Sie die Laplace-Transformation von jedem Begriff zu nehmen. Für den ersten Term auf der linken Seite der Gleichung, verwenden Sie die Differenzierung Eigenschaft auf die folgende Transformation erhalten:

Diese Gleichung basiert auf ich_L(S) = # 8466-[es)], und ich₀ist der Anfangsstrom durch den Induktor fließt. Da der Schalter für eine lange Zeit geöffnet ist, die Anfangsbedingung ich₀ gleich Null ist.

Für das zweite Glied der KVL Gleichung mit Widerstand zu tun R, die Laplace-Transformierte ist einfach

# 8466- [i (t) R] = I (s) R

Für das dritte Glied in der KVL Ausdruck mit Kondensator Umgang C, du hast

Die Laplace-Transformation der integro-Differentialgleichung wird

Neuordnen der Gleichung und lösen für I (s):

Um die Zeit-Domain-Lösung erhalten es), Verwenden Sie die folgende Tabelle, und beachten Sie, dass die vorangehende Gleichung, die die Form eines Dämpfungs Sinuskurve hat.

Jetzt stecken Sie in ich₀ = 0 und einige Zahlen aus dieser Figur:

Jetzt haben Sie diese Gleichung bekam:

Sie winden sich mit folgender Lösung:

i (t) = [-0.01e^-400t sin500t] u (t)

Für diese RLC-Schaltung, haben Sie eine Dämpfung Sinuskurve. Die Schwingungen werden nach einer langen Zeit aussterben. In diesem Beispiel ist die Zeitkonstante 1/400 und aussterben nach 5/400 = 1/80 Sekunden.