Beschreiben zweiter Ordnung Schaltungen mit zweiter Ordnung Differentialgleichungen

Wenn Sie ein zweiter Ordnung Differentialgleichung verwenden können, um die Schaltung beschreiben Sie betrachten, dann sind Sie mit einer zweiten Ordnung Schaltung zu tun haben. Schaltungen, die einen Induktor umfassen, der Kondensator und der Widerstand in Reihe geschaltet oder parallel geschaltet sind zweiter Ordnung Schaltungen. Hier sind zweiter Ordnung Schaltungen durch eine Eingangsquelle angesteuert, oder Zwangsfunktion.

eine einzigartige Lösung für eine zweiter Ordnung Differentialgleichung Erste erfordert die Anfangszustände der Schaltung zu kennen. Für ein zweiter Ordnung Schaltung, müssen Sie die Ausgangskondensatorspannung und die anfängliche Drosselstrom zu kennen. Die Kenntnis dieser Zustände zum Zeitpunkt t = 0 liefert Ihnen eine einzigartige Lösung für alle Zeit nach der Zeit t = 0.

Verwenden Sie diese Schritte, wenn ein zweiter Ordnung Differentialgleichung für eine zweite Ordnung Schaltung zu lösen:

1. Finden die Nulleingangsantwort durch Einstellen der Eingangsquelle auf 0, so dass die Ausgabe nur zu den Anfangsbedingungen zurückzuführen ist.

2. Finden, die Nullzustandsantwort durch die Anfangsbedingungen ungleich 0 einstellen, so daß der Ausgang nur mit dem Eingangssignal zurückzuführen ist.

   Nullanfangsbedingungen bedeutet, dass Sie haben 0 anfängliche Kondensatorspannung und 0 Ausgangsdrosselstrom.

   Die Null-Zustand Reaktion erfordert, dass Sie die homogene und besondere Lösungen zu finden:

3. Homogene Lösung: Wenn es kein Eingangssignal oder Zwangsfunktion - das heißt, wenn v_T(t) = 0 oder ich_N(t) = 0 - Sie haben die homogene Lösung.

4. Besondere Lösung: Wenn Sie einen Nicht-Null-Eingang haben, folgt die Lösung des Eingangssignals in Form, können Sie die besondere Lösung. Zum Beispiel, wenn Sie Ihre Eingabe eine Konstante ist, dann Ihre spezielle Lösung ist auch eine Konstante. Ebenso, wenn Sie eine Sinus- oder Cosinus-Funktion als eine Eingabe, dann ist die Ausgabe eine Kombination von Sinus- und Kosinus-Funktionen.

5. Addieren Sie die Null-Eingang und Null-Zustand Antworten die Gesamtantwort zu erhalten.

   Weil Sie mit linearen Schaltungen zu tun haben, wollen Sie Überlagerung verwenden, um die Gesamt Antwort zu finden.

Um die Gesamtantwort für eine zweiter Ordnung Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten zu finden, sollten Sie zunächst die homogene Lösung zu finden, durch eine algebraische charakteristische Gleichung und nehmen die Lösungen sind Exponentialfunktionen. Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung geben Sie die Konstanten im Exponenten der Exponentialfunktion gefunden.

Raten Sie an einer Grundlösung: Die natürliche Exponentialfunktion

Dies ist nur eine Annäherung an zweiter Ordnung Schaltungen zu lösen. Die gute Nachricht ist, dass es ein Problem im Zusammenhang mit einer Differentialgleichung zu einer umwandelt, die nur Algebra verwendet.

Betrachten Sie die folgende Differentialgleichung als numerisches Beispiel mit Null Störfunktion v_T(t) = 0:

Die Lösung dieser Differentialgleichung wird die homogene Lösung genannt v (t). Eine klassische Ansatz bringt geben Sie Ihre beste Chance auf die Lösung zu erraten. Versuchen v (t) = e^kt. Die Exponentialfunktion arbeitet für eine Gleichung erster Ordnung, so sollte es auch für eine Gleichung zweiter Ordnung arbeiten.

Wenn Sie nehmen die Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion e^kt, Sie erhalten die gleiche Sache durch eine Konstante multipliziert k. Sie sehen, wie die Exponentialfunktion bei der Lösung von Differentialgleichungen, wie dies Ihre wahre amigo ist.

Aus Kalkül Algebra: Mit der charakteristischen Gleichung

Um eine homogene Differentialgleichung lösen, können Sie die Differentialgleichung in eine charakteristische Gleichung wandeln, die Sie mit Algebra zu lösen. Sie tun dies, indem Sie Ihre Vermutung zu ersetzen v (t) = e^kt von früher in die homogene Differentialgleichung:

Unter Ausklammerung e^kt Sie führt zu einer charakteristischen Gleichung:

(k² + 5k +6)e^kt = 0

Der Koeffizient der e^kt 0 sein muss, damit Sie lösen können für k wie folgt:

k² + 5k + 6 = 0

k = -2. -3

Einstellen der algebraischen Gleichung auf 0 gibt Ihnen ein charakteristische Gleichung. Die konstanten Wurzeln -2 und -3 bestimmen die Eigenschaften der Lösung v (t).

Aus diesen Wurzeln, erhalten Sie eine homogene Lösung, die eine Kombination der Lösungen ist e^-2t und e^-3t:

v (t) = c₁e^-2t + c₂e^-3t

die Konstanten c₁ und c₂ werden von den Anfangsbedingungen bestimmt, wenn t = 0.