Anwenden von quadratics zu realen Situationen
Quadratische Gleichungen eignen sich Situationen zu modellieren, die im wirklichen Leben passieren, wie der Aufstieg und Fall der Gewinne aus dem Verkauf von Waren, die Abnahme und Zunahme der Menge an Zeit, dauert es eine Meile laufen basierend auf Ihrem Alter, und so weiter.
Die wunderbare Teil etwas zu haben, die durch eine quadratische modelliert werden kann, ist, dass man leicht die Gleichung lösen kann, wenn gleich Null und vorhersagen, die Muster in den Funktionswerten eingestellt.
Der Scheitelpunkt und x-Abschnitte sind besonders nützlich. Diese Abschnitte sagen Ihnen, wo Zahlen von positiv zu negativ oder negativ zu positiv verändern, so dass Sie wissen, zum Beispiel, wo der Boden in einem Physik Problem liegt oder wenn Sie beginnen würde, einen Gewinn oder Geld zu verlieren in einer Unternehmung.
Der Scheitelpunkt zeigt Ihnen, wo Sie das absolute Maximum oder Minimum an Kosten finden können, Gewinn, Geschwindigkeit, Höhe, Zeit, oder was auch immer Sie modellieren.
Beispielfrage
Im Jahr 1972 konnte man einen Mercury Comet für etwa $ 3200 kaufen. Autos können ziemlich schnell an Wert verlieren, sondern ein 1972 Comet in tadellosem Zustand kann eine Menge Geld an einen Sammler heute wert sein.
der Wert eines dieser Kometen lassen durch die quadratische Funktion modelliert werden, v(t) = 18,75t2 - 450t + 3200, wo t Seit 1972 ist die Anzahl der Jahre der Wert der Funktion gleich 0 Wann ist (was ist ein x-Intercept), was war der niedrigste Wert des Autos, und was war im Jahr 2010 ihren Wert?
Der Wert des Auto fiel nie auf 0, der niedrigste Wert lag bei $ 500 und das Auto war im Wert von 13.175 $ im Jahr 2010. In diesem Modell die y-Intercept stellt den Anfangswert. Wann t = 0, ist die Funktion, v(0) = 3.200, was dem Kaufpreis entspricht.
Finden Sie die x-Abschnitte von 18,75 Lösungt2 -450t + 3200 = 0. Unter Verwendung der quadratischen Formel (man könnte Factoring versuchen, aber es ist ein bisschen eine Herausforderung und, wie sich herausstellt, ist die Gleichung nicht-Faktor), Sie -37.500 unter dem Radikal in der Formel erhalten. Sie können keine Echt Zahl Lösung erhalten, sodass die Grafik nicht hat x-abfangen. Der Wert des Comet bekommt auf 0 nicht immer nach unten.
Finden Sie die niedrigsten Wert, der durch den Scheitelpunkt zu bestimmen. Mit Hilfe der Formel,
Diese Koordinate sagt Ihnen, dass 12 Jahre ab Anfang (1984 - 12-1972 hinzufügen), wird der Wert des Comet ist am geringsten. Ersetze das t'S in der Formel mit 12, und Sie erhalten v(12) = 18,75 (12)2 - 450 (12) + 3,200 = 500.
Der Komet war im Wert von 500 $ im Jahr 1984. Um den Wert des Autos im Jahr 2010 finden, lassen Sie t = 38, weil das Jahr 2010 38 Jahre nach 1972. Der Wert des Autos im Jahr 2010 ist v(38) = 18,75 (38)2 - 450 (38) + 3.200 = $ 13.175.
Übungsfragen
Die Höhe eines Kugel t Sekunden, nachdem es in die Luft von der Oberseite eines Gebäudes geworfen wird durch modelliert h(t) = -16t2 + 48t + 64, wobei h(t) Ist in der Höhe in Fuß. Wie hoch ist das Gebäude, wie hoch hat der Ball Anstieg vor nach unten zu fallen beginnen, und nach wie vielen Sekunden wird der Ball auf dem Boden?
Die Gewinnfunktion Georgio zu sagen, wie viel Geld er für die Produktion und den Verkauf wird net x Spezialschirme ist gegeben durch P(x) = -0,00405x2 + 8,15x - 100.
Was Georgio Verlust ist, wenn er einen der Schirme nicht verkaufen lässt er produziert, wie viele Schirme hat er sogar brechen verkaufen müssen, und wie viele hat er verkaufen, um den größtmöglichen Gewinn zu erzielen?
Chip lief durch ein Labyrinth in weniger als einer Minute das erste Mal versuchte er. Seine Zeiten noch besser für eine Weile mit jedem neuen Versuch, aber dann seine Zeit noch schlimmer (er dauerte länger) aufgrund von Ermüdung.
Die Zeit, Chip nahm durch das Labyrinth am laufen einten Versuch kann modelliert werden T(ein) = 0,5ein2 - 9ein + 48.5. Wie lange hat Chip nehmen das Labyrinth zum ersten Mal laufen zu lassen, und was war seine beste Zeit?
Eine Autobahn-Unterführung ist parabolische Form. Wenn die Kurve der Unterführung kann modelliert werden, h(x) = 50-0,02x2, woher x und h(x) Sind in den Füßen, dann, wie hoch der höchste Punkt der Unterführung ist, und wie weit ist es?
Im Folgenden finden Sie Antworten auf die Fragen der Praxis:
Das Gebäude ist 64 Meter hoch, der Ball Peaks bei 100 Fuß, und es dauert 4 Sekunden, um den Boden zu schlagen.
Der Ball wird von der Spitze des Gebäudes geworfen, so dass Sie wollen die Höhe des Balls, wenn t = 0. Diese Zahl ist die anfängliche t Wert (der y-abfangen). Wann t = 0 ist, h = 64, so ist das Gebäude 64 Meter hoch.
Der Ball ist am Scheitelpunkt der Parabel am höchsten ist. die Berechnung der t Wert, erhalten Sie, dass der Scheitelpunkt liegt vor, wenn t = 1,5 Sekunden. Substituieren t = 1,5 in die Formel, erhalten Sie, dass h = 100 Fuß.
Der Ball geht an den Boden, wenn h = 0. Solving -16t2 + 48t + 64 = 0, Faktor Sie -16 zu erhalten (t - 4) (t + 1) = 0. Die Lösung t = 4 erfahren Sie, wenn der Ball den Boden berührt.
Das t = -1 Repräsentiert geht rückwärts in der Zeit, oder in diesem Fall, wo der Ball begonnen hätte, wenn es aus dem Boden ins Leben gerufen worden war - nicht die Spitze eines Gebäudes.
Georgio verliert $ 100 (verdient - $ 100), wenn er 0 verkauft, muss 13 zu verkaufen, sogar zu brechen, und die Gewinne zu maximieren, wenn er 1.006 Regenschirme verkauft.
Wenn Georgio verkauft keine Regenschirme, dann x = 0, und er macht einen negativen Gewinn (Verlust) von $ 100. Der Break-even-Punkt kommt, wenn der Gewinn von negativ zu positiv, bei einem x-abfangen. Unter Verwendung der quadratischen Formel, erhalten Sie zwei Abschnitte: bei x = 2,000 und x ca. 12.35.
Der erste (kleinere) x-intercept ist, wo die Funktion von negativ zu positiv ändert. Das zweite ist, wo der Gewinn wieder einen Verlust wird (zu viele Schirme, zu viel Überstunden?). So, 13 Regenschirme einen positiven Gewinn abwerfen würde - er würde den Break-even (haben null Gewinn).
Der maximale Gewinn tritt an der Spitze. Mit Hilfe der Formel für die x-Wert des Scheitels, Sie bekommen, dass x beträgt ca. 1,006.17. Setzt man 1.006 in die Formel, erhalten Sie 4,000.1542- dann 1.007 in die Formel zu ersetzen, erhalten Sie 4,000.15155.
Sie sehen, dass Georgio etwas mehr Gewinn mit 1.006 Schirmen bekommt, aber das Bruchteil eines Cent bedeutet nicht viel. Er würde immer noch über $ 4.000 zu machen.
Chip dauerte 40 Sekunden wird die erste Zeit seine Bestzeit betrug 8 Sekunden.
Da die Variable ein die Anzahl der Versuch darstellt, finden T(1) für die Zeit des ersten Versuch. T(1) = 40 Sekunden. Die beste (Minimum) Es ist an der Spitze. Die Lösung für die ein Wert (der die Anzahl der den Versuch ist),
Er hatte die beste Zeit auf dem neunten Versuch, und T(9) = 8 ist.
Die Unterführung ist 50 Meter hoch und 100 Meter breit.
Der höchste Punkt tritt an der Spitze:
Das x-Koordinate des Vertex 0, so dass der Scheitelpunkt auch das ist y-intercept, bei (0, 50). Die Zwei x-Abschnitte repräsentieren die Endpunkte der Breite der Überführung. Einstellen 50-,02x2 gleich 0 ist, lösen Sie x und bekomme x = 50, -50. Diese beiden Punkte sind 100 Einheiten auseinander - die Breite der Unterführung.