Wie berechnen Momentangeschwindigkeit mit Limits
Sie können mit Grenzen der momentanen Geschwindigkeit eines Objekts berechnen. Sagen Sie, dass Sie und Ihr Kalkül liebende Katze hängen eines Tages aus, und Sie entscheiden, aus dem Fenster im zweiten Stock einen Ball fallen zu lassen. Hier ist die Formel, die Ihnen sagt, wie weit der Ball nach einer bestimmten Anzahl von Sekunden (ohne Berücksichtigung der Luftwiderstand) gesunken ist:
(woher h Der Ball ist der Höhe hat, in die Füße gefallen, und t Zeit ist der Betrag, da wurde der Ball fallen gelassen, in Sekunden).
Wenn Sie Stecker 1 in t, h 16- ist, so dass die Kugel 16 Meter während der ersten Sekunde fällt.
Nun, was ist, wenn Sie die Ballgeschwindigkeit genau 1 Sekunde bestimmen wollte, nachdem Sie es fallen lassen? Sie können durch Schlagen aus diesen treuen ol 'Formel starten:
Verwendung der Preis, oder Geschwindigkeit Formel, können Sie leicht die Balldurchschnittsgeschwindigkeit während der zweiten Sekunde ihres Sturzes herauszufinden. Weil es fiel 16 Meter nach 1 Sekunde und insgesamt 64 Meter nach 2 Sekunden, fiel sie von 64 bis 16 oder 48 Fuß, von t = 1 Sekunde t = 2 Sekunden.
Die folgende Formel gibt Ihnen die durchschnittliche Geschwindigkeit:
Aber dies ist nicht die Antwort, die Sie wollen, weil der Ball schneller und schneller fällt als es fällt, und Sie wollen ihre Geschwindigkeit genau 1 Sekunde wissen, nachdem Sie es fallen. Der Ball Geschwindigkeiten zwischen 1 und 2 Sekunden, so dass diese durchschnittlich Geschwindigkeit von 48 Fuß pro Sekunde während der zweiten Sekunde ist sicher schneller als die Ball unmittelbar Geschwindigkeit am Ende seiner ersten Sekunde.
Für eine bessere Annäherung, die Berechnung der Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen t = 1 Sekunde und t = 1,5 Sekunden.
Seine durchschnittliche Geschwindigkeit ist somit:
Wenn Sie diesen Vorgang für verstrichenen Zeiten einer Viertelsekunde weiterhin ein Zehntel einer Sekunde, dann ein Hundertstel, Tausendstel und einem Zehntausendstel einer Sekunde, gelangt man auf die Liste der Durchschnittsgeschwindigkeiten in dieser Tabelle dargestellt.
| t Sekunden | 2 | 1 1/2 | 1 1/4 | 1 1/10 | 1 1/100 | 1 1/1000 | 1 1 / 10.000 |
| Ave. Geschwindigkeit von 1 Sek. bis t sek. | 48 | 40 | 36 | 33.6 | 32.16 | 32,016 | 32,0016 |
Wie t wird näher auf 1 Sekunde, werden die Durchschnittsgeschwindigkeiten zu 32 Fuß pro Sekunde näher und näher zu kommen.
Hier ist die Formel, die Sie verwenden können, um die Zahlen in der Tabelle zu generieren. Es gibt Ihnen die durchschnittliche Geschwindigkeit zwischen 1 Sekunde und t Sekunden:
Die folgende Abbildung zeigt eine graphische Darstellung dieser Gleichung.
Dieser Graph ist identisch mit dem Graphen der Linie y= 16t + 16, mit Ausnahme der Öffnung an (1, 32).
Es gibt ein Loch, denn wenn Sie Stecker 1 in t in der mittleren Geschwindigkeit Funktion, erhalten Sie
Das ist nicht definiert. Und warum hast du 0/0? Weil Sie versuchen, eine durchschnittliche Geschwindigkeit zu bestimmen - das entspricht Gesamtentfernung geteilt durch verstrichene Zeit - von t = 1 to t = 1.But aus t= 1 to t = 1 ist, natürlich, Nein Zeit und # 147-während # 148- diesem Zeitpunkt, reisen die Kugel keinen Abstand, so erhalten Sie
Offensichtlich gibt es hier ein Problem. Halten Sie Ihren Hut, haben Sie bei einer der großen angekommen # 147-Ah ha! # 148- Momente in der Entwicklung der Differentialrechnung.
Momentangeschwindigkeit wird als die Grenze der Durchschnittsgeschwindigkeit Funktion definiert als die verstrichene Zeit gegen Null geht.
Die Tatsache, dass die verstrichene Zeit nie nicht die Genauigkeit der Antwort auf diese Grenze Problem wirkt sich auf Null bekommt - die Antwort ist genau 32 Fuß pro Sekunde, die Höhe des Loches in der Figur. Zweiunddreißig ist die Antwort, weil als x wird näher und näher an 1, y rückt näher und näher an 32. Was Grenzen bemerkenswert ist, dass sie es Ihnen ermöglichen, die genaue, aktuelle Geschwindigkeit an einem einzigen Punkt in der Zeit zu berechnen, indem die Grenze einer Funktion nehmen, die auf ein basiert verstrichene Zeit, eine Zeit zwischen zwei Zeitpunkten.