Wie man feststellt Maximum und Minimum Geschwindigkeiten von bewegten Objekten

Eine der praktischen Anwendung der Differenzierung wird der Maximal- oder Minimalwerte einer realen Funktion, beispielsweise der maximalen und minimalen Geschwindigkeiten eines sich bewegenden Objekts zu finden.

Sie können denken, veLocity Als weitere technische Version Geschwindigkeit.

Hier ist ein Beispiel. Ein Jo-Jo bewegt sich gerade nach oben und nach unten. Seine Höhe über dem Boden, als Funktion der Zeit wird durch die Funktion gegeben H(t) = t³ - 6t² + 5t + 30, wobei t ist in Sekunden und H(t) Ist in den Zoll. Beim t = 0 ist, ist das Jo-Jo 30 Zoll über dem Boden, und nach 4 Sekunden, es ist in einer Höhe von 18 Zoll, wie in dieser Figur gezeigt.

Um die Gesamtentfernung der Jo-Jo-Reisen zu ermitteln, müssen Sie die Abstände an jedem Bein der Reise des Jo-Jo reiste zu addieren: die oben Bein, das nach unten Bein, und das zweite bis Bein.

Erstens, die Jo-Jo geht aus einer Höhe von 30 Zoll bis etwa 31,1 Zoll bis (wo der erste Wendepunkt ist). Das ist eine Strecke von etwa 1,1 Zoll. Als nächstes geht es von etwa 31,1 bis etwa um 16,9 (die Höhe des zweiten Umkehrpunkt). Das ist eine Entfernung von 31,1 minus 16,9 oder 14,2 Zoll. Schließlich geht das Jo-Jo wieder von etwa 16,9 Zoll auf seine endgültige Höhe von 18 Zoll. Das ist ein weiterer 1,1 Zoll. Fügen Sie diese drei Strecken die Gesamtstrecke zu erhalten gereist:

Hinweis: Vergleichen Sie diese Antwort auf die Gesamthubraum von # 8201- -12, die Sie erhalten von der endgültigen Höhe des Jo-Jo-Subtraktion, 18 Zoll, von seiner Anfangshöhe von 30 Zoll. Die Verschiebung ist negativ, da die Netto-Bewegung nach unten ist. Und der positive Betrag der Verschiebung (nämlich 12) kleiner ist als die zurückgelegte Strecke von 16,4 weil mit der Verschiebung die oben Beine des Jo-Jos Reise Teil des Abwärtsbeinabstand aufheben. Überprüfen Sie die Mathematik aus:

Die Jo-Jo-Durchschnittsgeschwindigkeit wird durch die Gesamtstrecke durch die verstrichene Zeit geteilt gegeben. So,

Angenommen, Sie feststellen, dass der Jo-Jo-maximale Geschwindigkeit 5 Zoll pro Sekunde, und seine minimale Geschwindigkeit ist -7 Zoll pro Sekunde. Eine Geschwindigkeit von -7 ist eine Geschwindigkeit von 7, das ist also das Yo-Yo der Höchstgeschwindigkeit. Seine Mindestgeschwindigkeit von Null erfolgt an den beiden Wendepunkten.

Eine gute Möglichkeit, maximale und minimale Geschwindigkeit zu analysieren ist, die Geschwindigkeit Funktion und deren grafische Darstellung zu betrachten. (Oder, wenn Sie ein Vielfraß für Strafe sind, überprüfen Sie die folgende Hokuspokus aus.) Geschwindigkeit ist gleich dem absoluten Wert der Geschwindigkeit.

Geschwindigkeit, V(t) Die Ableitung der Position (Höhe, in diesem Problem). So:

Also, für den Jo-Jo-Problem, die Geschwindigkeitsfunktion,

Schauen Sie sich die grafische Darstellung von S(t) In der folgenden Abbildung.

Mit Blick auf dieses Diagramm, ist es leicht zu sehen, dass der Jo-Jo-maximale Geschwindigkeit tritt an t = 2

und dass die Mindestgeschwindigkeit Null an den beiden x-abfängt.

Minimale und maximale Geschwindigkeit: Für eine kontinuierliche Geschwindigkeit Funktion, die Mindestgeschwindigkeit Null ist, wenn die maximalen und minimalen Geschwindigkeiten der entgegengesetzten Vorzeichen, oder wenn einer von ihnen ist Null. Wenn die Maximal- und Minimalgeschwindigkeiten beide positiv oder beide negativ sind, dann ist die Minimum Geschwindigkeit ist die geringer der absoluten Werte der maximalen und minimalen Geschwindigkeiten. In allen Fällen ist die maximal Geschwindigkeit ist die größer der absoluten Werte der maximalen und minimalen Geschwindigkeiten. Ist das ein Bissen oder was?