So finden Sie Absolute Extrema über eine Funktion der ganzen Domäne

Eine Funktion des absolute max und absolute min über seine gesamte Domain definiert es überall sind die höchsten und niedrigsten Werte (Höhen) der Funktion. Wenn Sie eine Funktion der gesamten Domäne betrachten, kann eine Funktion haben eine absolute max oder min oder beides oder keines von beidem. Zum Beispiel kann die Parabel y = x² einen absoluten min an dem Punkt (0,0) - die Unterseite der Schalenform - aber keine absolute max, weil sie nach oben geht immer nach links und rechts. Man könnte denken, dass seine absolute max unendlich sein würde, aber unendlich ist keine Zahl und somit ist es nicht als ein Maximum (dito für die Verwendung der negativen Unendlichkeit als absolute min) zu qualifizieren.

Auf der einen Seite scheint die Idee eines sehr höchsten Punkt der Funktion und sehr tiefsten Punkt ziemlich einfach, nicht wahr? Aber es gibt einen Schraubenschlüssel in den Werken. Der Schlüssel ist die Kategorie der Dinge, die Don't qualifizieren als maxes oder Minuten.

In der Figur gibt es leer "Endpunkte" wie (3,4) auf f (x). f (x) Hat eine absolute max nicht. Seine max ist nicht 4, weil es nie zu 4 bekommt, und seine max nichts weniger als 4 sein kann, wie 3,999, weil es höher als das bekommt, sagen 3,9999. In ähnlicher Weise kann ein winziger Loch in einer Funktion nicht als max oder min qualifizieren. Betrachten wir zum Beispiel den Absolutwert-Funktion,

Sie wissen, die V-förmige Funktion mit der scharfen Ecke im Ursprung. Es hat keine absolute Maximum, weil es bis ins Unendliche geht. Seine absolute min Null (bei (0, 0), natürlich). Aber jetzt sagen Sie die Funktion leicht ändern, indem Ausreißen den Punkt bei (0, 0) und verlässt dort eine unendlich kleine Loch. Jetzt hat die Funktion keine absolute Minimum.

betrachten wir nun G (xin der Figur). Es zeigt eine andere Art von Situation, die nicht als min (oder max) qualifiziert. G (x) Hat keine absolute min. Gehen links, G die horizontale Asymptote kriecht an y = 0 ist, immer immer tiefer und tiefer, aber nie so günstig wie Null zu bekommen. Da es nie auf Null wird, Null kann nicht der absolute min sein, und es kann keine anderen absolute min (wie beispielsweise 0,0001) sein, weil zu einem bestimmten Zeitpunkt nach links, G Nachfolgend wird jede kleine Zahl erhalten Sie benennen können.

Vor diesem Hintergrund ist hier ein Schritt-für-Schritt-Ansatz zum Lokalisieren eines absoluten Maximum der Funktion und minimalen (falls vorhanden):

1. Finden, um die Höhe der Funktion an jedem seiner kritischen Zahlen. (Daran erinnern, dass eine Funktion der kritischen Zahlen die sind x-Werte innerhalb der Domäne der Funktion, wo die Ableitung null oder nicht definiert ist.)

   Erwägen alle die kritischen Zahlen, nicht nur diejenigen, die in einem bestimmten Intervall. Die höchste dieser Werte wird die Funktion der absolute Maximum sein, es sei denn die Funktion höher geht als dieser Punkt in diesem Fall die Funktion keine absolute max haben. Die niedrigste dieser Werte wird die Funktion des absoluten min sein, es sei denn die Funktion niedriger geht als dieser Punkt in diesem Fall ist es eine absolute min nicht haben. Die Schritte 2 und 3 wird Ihnen helfen, herauszufinden, ob die Funktion geht höher als die höchste kritische Punkt und / oder niedriger als die niedrigste kritische Punkt. Wenn Sie sich bewerben Schritt 1 G (x) In der Figur, werden Sie feststellen, dass es keine kritischen Punkte. Wenn dies geschieht, sind Sie fertig. Die Funktion hat weder eine absolute max noch eine absolute min.

2. Überprüfen Sie, ob die Funktion zur Unendlichkeit und / oder bis zu minus unendlich geht nach oben.

   Wenn eine Funktion auf positive Unendlichkeit oder unten, um negative Unendlichkeit nach oben geht, tut sie dies an seinem äußersten rechten oder linken oder an einer vertikalen Asymptote. So bewerten

   

   - die sogenannte Ende Verhalten der Funktion - und dem Grenzwert der Funktion als x nähert sich jede vertikale Asymptote von links und von rechts (wenn es welche gibt). Wenn die Funktion bis ins Unendliche geht, hat es keine absolute Max- wenn es bis auf minus unendlich geht, ist es keine absolute min hat.

3. Zeichnen Sie die Funktion für die horizontale Asymptoten und seltsame Features wie die Sprung einchecken f (xin der Figur).

   Schauen Sie sich die grafische Darstellung der Funktion. Wenn Sie sehen, dass die Funktion höher als der höchste seiner kritischen Punkte bekommt, hat es keine absolute Max- wenn es geht niedriger als die niedrigste seiner kritischen Punkte, es keine absolute min hat. Die Anwendung dieses 3-Stufen-Prozess f (x) In der Figur, Stufe 1 würde zwei kritische Punkte zeigen: den Endpunkt bei (3, 1) und die lokale max bei etwa (4.1, 1.3). In Schritt 2 würden Sie feststellen, dass f geht bis auf minus unendlich und hat somit keine absolute min. Schließlich wird in Schritt 3, dann würden Sie sehen, dass f geht höher als die höhere der kritischen Punkte, (4.1, 1.3), und daß es daher keine absolute max. Sie sind fertig!