So finden Sie Lokale Extrema mit der ersten Ableitung-Test
Alle lokalen Maxima und Minima auf einer Grafik-Funktion - lokale Extrema genannt - treten an den kritischen Punkten der Funktion (wo die Ableitung Null ist oder nicht definiert ist). (Vergessen Sie nicht, aber, dass nicht alle kritischen Punkte sind unbedingt lokale Extrema.)
Der erste Schritt einer Funktion lokale Extrema bei der Suche nach ist seine kritische Zahlen zu finden (die x-Werte der kritischen Punkte). Sie verwenden dann die erste Ableitung-Test. Dieser Test basiert auf den Nobelpreis-Kaliber Ideen, wie Sie über die Spitze eines Hügels gehen, Sie gehen nach oben und dann gehen Sie nach unten, und dass, wenn Sie in und aus einem Tal fahren, gehen Sie nach unten und dann oben. Dieses Kalkül Zeug ist ziemlich erstaunlich, nicht wahr?
Die Abbildung zeigt die grafische Darstellung von
Um die kritischen Zahlen dieser Funktion zu finden, ist hier, was Sie tun.
Finden Sie die erste Ableitung f mit der Macht Regel.
Stellen Sie die Ableitung gleich Null und lösen für x.
x = 0, -2, oder 2.
Diese drei x-Werte sind die Zahl der kritischen f.Weitere kritische Zahlen existieren könnten, wenn die erste Ableitung an einigen nicht definiert wurden x-Werte, sondern weil die Ableitung
für alle Eingabewerte definiert ist, die obige Lösung gesetzt, 0, -2 und 2 ist die komplette Liste der kritischen Zahlen. Da das Derivat (und die Steigung) von f Null bei diesen drei kritischen Zahl entspricht, weist die Kurve an dieser Zahlen horizontal Tangenten.
Nun, da Sie die Liste der kritischen Zahlen haben, müssen Sie bestimmen, ob Spitzen oder Täler oder weder bei denen auftreten x-Werte. Sie können mit der ersten Ableitung-Test dies tun. Hier ist wie:
Nehmen Sie eine Zahl Linie und legte die kritischen Zahlen, die Sie gefunden haben: 0, -2 und 2.
Sie teilen diese Zahl Zeile in vier Bereiche: links von -2, von -2 bis 0, von 0 bis 2 ist, und nach rechts von 2.
Wählen Sie einen Wert aus jeder Region, stecken Sie es in die erste Ableitung, und beachten Sie, ob Ihr Ergebnis positiv oder negativ ist.
In diesem Beispiel können Sie die Zahlen -3 verwenden, -1, 1 und 3, um die Regionen zu testen.
Diese vier Ergebnisse sind jeweils positive, negative, negative und positive.
Nehmen Sie Ihre Nummer Linie, jede Region mit dem entsprechenden positiven oder negativen Vorzeichen zu markieren, und angeben, wo die Funktion zunimmt und abnimmt.
Es Erhöhung wo die Ableitung positiv ist, und abnimmt, wenn die Ableitung negativ ist. TheResult ist ein sogenanntes Zeichen Graph für die Funktion.
Diese Zahl einfach sagt Ihnen, was Sie schon wissen, ob Sie bei der grafischen Darstellung von geschaut haben f - daß die Funktion geht bis -2, unten von -2 bis 0, weiter unten von 0 bis 2, und wieder von 2 bis auf.
Nun, hier ist die Rakete Wissenschaft. Die Funktion schaltet von steigenden zu sinke bei -2- mit anderen Worten, gehen Sie auf -2 und dann nach unten. Also, bei -2, haben Sie einen Hügel oder ein lokales Maximum. Im Gegensatz dazu, da die Funktion abnimmt schaltet bei 2 bis zu erhöhen, haben Sie ein Tal gibt oder ein lokales Minimum. Und weil das Vorzeichen der ersten Ableitung nicht auf Null schaltet, gibt es weder eine min noch eine max an, daß x-Wert.
Besorgen Sie sich die Funktionswerte (in anderen Worten, die Höhen) dieser beiden lokalen Extrema durch das Einstecken x-Werte in die ursprüngliche Funktion.
Somit wird die lokale max liegt bei (-2, 64) und die lokale min ist (2, -64). Sie sind fertig.
Um die erste Ableitung-Test verwenden, für ein lokales Extremum bei einer bestimmten kritischen Zahl zu testen, muss die Funktion sein kontinuierlich dabei x-Wert.