s-Domain-Analyse: Verständnis Polen und Zeros von F (s)
Laplace-Transformation kann verwendet werden, um eine Schaltung das Verhalten vorherzusagen. Die Laplace-Transformation nimmt eine Zeitbereichsfunktion f (t), und wandelt sie in der Funktion F (s) in dem s-Domain. Sie können die Laplace-Transformation sehen F (s) als Verhältnisse von Polynomen in der s-Domain. Wenn Sie die realen und komplexen Wurzeln (Pole) dieser Polynome finden, können Sie eine allgemeine Vorstellung von dem, was die Wellenform erhalten f (t) aussehen wird.
Zum Beispiel, wie in dieser Tabelle gezeigt ist, wenn die Wurzeln real sind, dann ist die Wellenform exponentiell. Wenn sie imaginär sind, dann ist es eine Kombination von Sinus und Cosinus. Und wenn sie komplex sind, dann ist es eine Dämpfung Sinuskurve.
Die Wurzeln des Polynoms im Zähler von F (s) sind Nullen, und die Wurzeln des Polynoms in dem Nenner Stangen. Die Pole führen F (s) Blasen bis unendlich oder nicht definiert sein - sie die vertikale Asymptoten und Löcher in Ihrem Diagramm sind.
Normalerweise erstellen Sie ein Pol-Null Diagramm durch die Wurzeln in der Plotten s-Ebene (realen und imaginären Achsen). Der Pol-Nullstellen-Diagramm stellt eine geometrische Ansicht und allgemeine Auslegung des Schaltungsverhaltens.
Betrachten wir zum Beispiel die folgende Laplace-Transformation F (s):
Dieser Ausdruck ist ein Verhältnis zweier Polynome in s. Zähler und Nenner Factoring gibt Ihnen die folgende Laplace Beschreibung F (s):
Das Nullen, oder Wurzeln des Zählers sind s = -1, -2. Das Stangen, oder Wurzeln des Nenners sind s = -4, -5, -8.
Beide Pole und Nullen werden zusammenfassend als kritische Frequenzen denn verrückt Ausgabeverhalten tritt auf, wenn F (s) auf Null geht oder explodiert. Durch die Kombination der Pole und Nullen, müssen Sie den folgenden Satz von kritischen Frequenzen: {-1, -2, -4, -5, -8}.
Dieser Pol-Null Diagramm ist diese kritischen Frequenzen in der s-Flugzeug, eine geometrische Ansicht des Schaltungsverhaltens bereitstellt. In diesem Pol-Nullstellen-Diagramm, bezeichnet X-Pole und O bezeichnet die Nullen.
Hier sind einige Beispiele für die Pole und Nullstellen der Laplace-Transformation, F (s). Beispielsweise die Laplace-Transformation F1(S) für ein Dämpfungs exponentiellen hat ein Paar Transformation wie folgt:
Die exponentielle Transformation F1(S) hat einen Pol bei s = -Alpha- und keine Nullen. Hier sehen Sie den Pol F1(S) auf der negativen reellen Achse in der linken Halbebene aufgetragen.
Die Sinus-Funktion hat die folgenden Laplace-Transformationspaar:
Die vorstehende Gleichung hat keine Nullen und zwei imaginäre Pole - bei s = + jBeta- und s = -jBeta-. Imaginary Pole kommen immer paarweise. Diese beiden Pole sind ungedämpften, weil, wenn Pole auf der imaginären Achse liegen, jOmega-, die Funktion f (t) schwingt mit nichts für immer, es zu dämpfen. Hier sehen Sie eine grafische Darstellung des Pol-Nulldiagramm für eine Sinusfunktion.
Eine Rampenfunktion hat die folgende Laplace-Transformationspaar:
Die Rampenfunktion verfügt über Doppel-Pole am Ursprung (s = 0) und keine Nullen.
Hier ist ein Paar für ein gedämpftes Cosinus-Signal umwandeln:
Die vorstehende Gleichung hat zwei komplexe Pole an s = Alpha- + jBeta- und s = Alpha- - jBeta- und eine Null an s = -Alpha-.
Komplexe Pole, wie imaginäre Pole, immer paarweise kommen. Jedes Mal, wenn Sie ein komplexes Paar von Polen haben, hat die Funktion, die Schwingungen auf Null in der Zeit gedämpft werden - sie werden nicht ewig so weitergehen. Das gedämpfte Sinusverhalten besteht aus einer Kombination aus einer exponentiellen (aufgrund der Realteil Alpha- der komplexen Zahl) und sinusförmigen Oszillator (aufgrund der Imaginärteil Beta- der komplexen Zahl).
Hier sehen Sie die Pol-Null Diagramm für ein gedämpftes Kosinus dargestellt.
