Bevor Sie eine Differentialgleichung lösen können, müssen Sie wissen, welche Art es ist. Es gibt verschiedene Arten von Gleichungen, einschließlich linearer, zerlegbar, exakte, homogene und inhomogene.
Lineare Differentialgleichungen behandeln ausschließlich mit Derivaten an die erste Strom (vergessen zu jeder potenziert Derivate).
Die Macht, die hier Bezug genommen ist die Macht das Derivat zu angehoben wird, nicht der Reihenfolge des Derivats. Hier ist eine ziemlich typische aussehende lineare Differentialgleichung:
Trennbare Differentialgleichungen geschrieben werden, so dass alle Begriffe in x und alle Begriffe in y erscheinen auf den gegenüberliegenden Seiten der Gleichung, wie Sie in diesem Beispiel sehen können:
das auch geschrieben werden als
Exakte Differentialgleichungen sind solche, bei denen man eine Funktion, deren partiellen Ableitungen entsprechen den Bedingungen in der Differentialgleichung finden. Hier ein Beispiel:
Homogene Differentialgleichungen enthalten nur Derivate von y und Bedingungen beteiligt y. Wie Sie in dieser Gleichung sehen können, sind sie auch auf 0 gesetzt:
Inhomogene Differentialgleichungen sind die gleichen wie homogene Differentialgleichungen, jedoch mit einer Ausnahme: Sie können nur Begriffe haben Einbeziehung x und / oder Konstanten auf der rechten Seite. Hier ist ein Beispiel für eine inhomogene Differentialgleichung:
Die allgemeine Lösung dieser inhomogenen Differentialgleichung:
ist
woher c1y1 (x) + c2y2 (x) Ist die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen Differentialgleichungs
und yp(x) Ist eine besondere Lösung für die inhomogene Gleichung.
Zwei wirksame Wege zu lösen Differentialgleichungen
Sie können eine Differentialgleichung in einer Anzahl von Weisen zu lösen. Die beiden effektivsten Techniken können Sie die Methode der unbestimmten Koeffizienten verwenden und die Potenzreihe Methode.
Das Verfahren der unbestimmten Koeffizienten ist eine nützliche Methode Differentialgleichungen zu lösen. Um diese Methode anwenden, schließen Sie einfach eine Lösung, die unbekannten konstanten Koeffizienten in die Differentialgleichung verwendet und dann für die Koeffizienten zu lösen, indem die angegebenen Anfangsbedingungen.
Power-Serie sind ein weiteres Werkzeug in der Differentialgleichung lösen Toolkit. Sie können eine Potenzreihe wie die folgenden in eine Differentialgleichung ersetzen:
Dann alles, was Sie tun müssen, ist eine Rekursion, die Sie den Koeffizienten gibt einn.
Lösung von Differentialgleichungen Laplace-Transformation-Lösungen
Laplace-Transformation sind eine Art von Integraltransformation, das sind für die Herstellung von widerspenstigen Differentialgleichungen mehr überschaubar. Nehmen Sie einfach die Laplace der Differentialgleichung in Frage verwandeln, lösen algebraische, dass die Gleichung, und versuchen, die inverse Transformation zu finden. Hier ist die Laplace-Transformation der Funktion f (t):
Schauen Sie sich diese praktische Tabelle der Laplace-Transformation für allgemeine Funktionen, wann immer Sie wollen nicht die Zeit nehmen, eine Laplace-Transformation auf eigene Faust zu berechnen.
