So finden Sie Imaginary Roots Mit dem Fundamentalsatz der Algebra
Der Fundamentalsatz der Algebra kann Ihnen helfen, imaginäre Wurzeln finden. Imaginary Wurzeln erscheinen in einer quadratischen Gleichung, wenn die Diskriminante der quadratischen Gleichung - der Teil unter dem Quadratwurzelzeichen (b2 - 4ac) - Ist negativ. Wenn dieser Wert negativ ist, kann man eigentlich nicht die Quadratwurzel nehmen, und die Antworten sind nicht real. Mit anderen Worten, es gibt keine wirkliche lösungs- daher wird der Graph die nicht überqueren x-Achse.
immer die quadratische Formel gibt Ihnen zwei Lösungen, da die Plus / Minus-Zeichen bedeutet, sind Sie beide Addieren und Subtrahieren und zwei völlig unterschiedliche Antworten bekommen. Wenn die Zahl unter dem Quadratwurzelzeichen in der quadratischen Formel negativ ist, werden die Antworten genannt Komplex-Konjugate. eine davon ist r + si und das andere ist r - si. Diese Zahlen haben sowohl real (die r) Und Imaginärteil (die si) Teile.
Die komplexe Zahlensystem besteht aus allen Zahlen r + si woher r und s reelle Zahlen. Beachten Sie, dass, wenn s = 0, Sie haben einfach die reellen Zahlen. Daher werden die reellen Zahlen sind eine Teilmenge des komplexen Zahlensystems. Der Fundamentalsatz der Algebra sagt, dass jedes Polynom-Funktion mindestens eine Wurzel in der komplexen Zahlensystem.
Der höchste Grad eines Polynoms gibt Ihnen die höchstmögliche Anzahl von unterschiedlichen Komplex Wurzeln des Polynoms. Zwischen dieser Tatsache und Herrschaft des Descartes von Zeichen, können Sie eine Vorstellung davon, wie viele imaginäre Wurzeln bekommen ein Polynom hat.
Hier ist, wie Descartes 'Herrschaft der Zeichen können Sie die Zahl der möglichen realen Wurzeln geben, sowohl positive als auch negative:
Positive reelle Wurzeln. Für die Anzahl der positiven reellen Wurzeln, Blick auf das Polynom, geschrieben in absteigender Reihenfolge und wie oft ändert sich das Vorzeichen von Begriff zu Begriff zählen. Dieser Wert stellt die maximale Anzahl der positiven Wurzeln in dem Polynom. Beispielsweise in dem Polynom f(x) = 2x4 - 9x3 - 21x2 + 88x + 48, sehen Sie zwei Änderungen in Zeichen (vergessen Sie nicht das Zeichen des ersten Begriff enthalten!) - Aus dem ersten Ausdruck (+2x4) Zum zweiten (-9x3) Und aus dem dritten Term (-21x2) Mit dem vierten Term (88x). Das bedeutet diese Gleichung kann bis zu zwei positive Lösungen haben.
Descartes 'Herrschaft der Zeichen sagt die Anzahl der positiven Wurzeln gleich Veränderungen Zeichen f(x) Oder kleiner ist als die durch eine gerade Zahl (also halten Sie 2 subtrahiert wird, bis Sie erhalten entweder 1 oder 0). Daher ist die vorhergehende f(xkann) haben 2 oder 0 positive Wurzeln.
Negative Real Wurzeln. Für die Anzahl der negativen realen Wurzeln finden f(-x) Und wieder zu zählen. Da negative Zahlen sogar potenziert sind positive und negative Zahlen auf ungerade Potenzen erhoben werden negativ, wirkt sich diese Änderung nur Begriffe mit ungeraden Potenzen. Dieser Schritt ist der gleiche wie jedes Glied mit einer ungeraden Grad ihrer entgegengesetzten Vorzeichen zu ändern und wieder ändert sich das Vorzeichen zu zählen, die Sie die maximale Anzahl der negativen Wurzeln gibt. Das Beispiel Gleichung wird f(-x) = 2x4 + 9x3 - 21x2 - 88x + 48, die Zeichen zweimal ändert. Es kann sein, höchstens zwei negative roots.However, ähnlich der Regel für positive Wurzeln, ist die Anzahl der negativen Wurzeln gleich den Veränderungen in Zeichen für f(-x) Oder muss durch eine gerade Zahl als die weniger. Daher kann diese beispielsweise entweder 2 oder 0 negative Wurzeln.
Koppeln Sie jede mögliche Zahl der positiven reellen Wurzeln mit jeder möglichen Anzahl von negativen Real Roots- die verbleibende Anzahl der Wurzeln für jede Situation auf die Anzahl der imaginären Wurzeln darstellt.
Beispielsweise das Polynom f(x) = 2x4 - 9x3 - 21x2 + 88x + 48 hat einen Abschluss von 4, mit zwei oder null positive reelle Wurzeln, und zwei oder null negative reelle Wurzeln. Mit diesen Informationen können Sie die möglichen Situationen paaren:
Zwei positive und zwei negative reelle Wurzeln, mit Null imaginäre Wurzeln
Zwei positive und negative Real Null Wurzeln, mit zwei imaginäre Wurzeln
Null positive und zwei negative reelle Wurzeln, mit zwei imaginäre Wurzeln
Null positive und Null negativen realen Wurzeln, mit vier imaginären Wurzeln
Die folgende Tabelle stellt die Informationen leichter zu Bild:
| Positive reelle Wurzeln | Negative Real Wurzeln | Imaginary Wurzeln |
|---|---|---|
| 2 | 2 | 0 |
| 2 | 0 | 2 |
| 0 | 2 | 2 |
| 0 | 0 | 4 |
Komplexe Zahlen werden in der folgenden Form geschrieben r + si und beide haben einen echten und einen imaginären Teil, weshalb jedes Polynom mindestens eine Wurzel in der komplexen Zahlensystem. Real und imaginäre Zahlen sind sowohl in der komplexen Zahlensystem enthalten. Reelle Zahlen haben keinen imaginären Teil und rein imaginären Zahlen haben keine wirkliche Rolle. Wenn beispielsweise x = 7 ist eine Wurzel des Polynoms ist diese Wurzel sowohl real als auch komplex betrachtet, weil es neu geschrieben werden kann als x = 7 + 0ich (Der imaginäre Teil ist 0).
Der Fundamentalsatz der Algebra gibt die Gesamtzahl der komplexen Wurzeln (sagen wir es sieben sind) - Descartes 'Herrschaft der Zeichen sagt Ihnen, wie viele mögliche reale Wurzeln vorhanden sind und wie viele von ihnen sind positive und negative (saythere sind, höchstens zwei positive Wurzeln aber nur eine negative Wurzel). Nun nehme an, Sie haben sie alle gefunden: x = 1, x = 7, und x = -2. Diese Wurzeln sind real, aber sie sind auch komplex, weil sie alle neu geschrieben werden können.
Die ersten beiden Spalten in der Tabelle, die die wirklichen Wurzeln finden und sie als positiv oder negativ zu klassifizieren. Die dritte Spalte findet tatsächlich, insbesondere die nicht-reellen Zahlen: komplexe Zahlen mit von Null Imaginärteile.