Das Golden Ratio
Verhältnisse und Proportionen sind ein wichtiger Bestandteil des Studiums der Mathematik, Wissenschaft und Wirtschaft. Ein Verhältnis kann als Bruchteil geschrieben werden, und ein Anteil ist eine Aussage, dass zwei Verhältnisse gleich sind. Die Eigenschaften der Proportionen sind sehr hilfreich, wenn Probleme, deren Gleichungen verwenden Proportionen zu lösen.
Betrachten wir zuerst die Eigenschaften der Proportionen. Da der Anteil
Folgendes gilt:
Die Quer Produkte sind gleich: Anzeige = bc.
Die reziproken sind gleich:
Folgende Fraktionen können wie üblich reduziert werden.
Die Fraktionen in der folgenden kann durch Entfernen gemeinsame Faktoren vertikal oder horizontal reduziert werden:
Also, wenn ein = ef und c = z.B, dann
Und wenn b = jk und d = jm, dann
Diese Eigenschaften werden verwendet, um mit der Arbeit Goldener Schnitt, die Beziehung in dem goldenen Rechteck gefunden. Das goldene Rechteck wird angenommen, dass die ästhetisch ansprechende Form zu sein und erscheint in Meisterwerke wie das Mona Lisa und in anderen Kunst und Architektur seit Jahrhunderten.
Im Euklid's Elemente, Sie finden eine der ersten dieser goldenen Verhältnis geschrieben Definitionen: # 147-A Gerade wird gesagt, in extreme geschnitten worden sind und das Verhältnis bedeuten, wenn sie, wie die ganze Linie der größeren Segment ist, so ist die größere zur kleineren. # 148- Was ist, dass Griechisch für Sie?
Betrachten wir ein Segment in zwei Teile geteilt, ein und b, die den goldenen Schnitt.
Das Segment ein 1 Einheit lang, und das Segment ein + b ist etwa 1.618 Einheiten lang, eine Annäherung des goldenen Schnitts. So ist das Verhältnis
Die ungefähre Symbol wird verwendet, weil hier das goldene Verhältnis eine irrationale Zahl ist und eine Dezimalzahl hat, die niemals endet oder wiederholt. Was ist das Besondere an diesem besonderen Verhältnis?
Zurück zu Euklids Definition, die # 147-wie die ganze Linie ist auf die größere Segment # 148- (die Länge 1.618 ist auf 1) # 147-so ist desto größer ist die geringere # 148- (Länge 1 bis 0.618). Das Verhältnis
Der Anteil
Um den genauen Wert des goldenen Schnitts finden, sollten Sie den Anteil
Wenn die Länge der ein 1 Einheit, so ist der Anteil wird
Verwenden Sie die Querprodukteigenschaft zu erhalten (1 + b)b = 1 oder b + b2 = 1. In der Standardform einer quadratischen Gleichung in b, du hast b2 + b - 1 = 0. Zur Lösung für b, Sie benötigen die quadratische Formel:
Sie berücksichtigen nur die Summe im Zähler, weil
eine negative Zahl ist und die Länge des Segments nicht darstellen kann. Also lass
Jetzt berechnen ein + b durch die ersetzende ein mit 1 und die b mit der Lösung aus der quadratischen Formel, und Sie haben:
Der Wert von
oder das goldene Verhältnis.