Discovering Conic Gleichungen (Versehentlich)

Drei berühmte Probleme verwechselt Mathematiker seit Jahrhunderten: die Quadratur des Kreises, trisecting den Winkel und die Verdoppelung der Würfel. Diese Probleme sind sehr zugänglich heutzutage mit moderner EDV und Technik. Aber die Alten hatten nur einen Zirkel und Lineal, mit zu arbeiten, so dass diese Probleme waren so ziemlich unlösbares.

Bei dem Versuch, die Verdoppelung des Würfels Problem zu lösen, entdeckten Mathematiker Kegel Gleichungen. Diese Situation ist so etwas wie die zufällige Entdeckung des Penicillins, wo Fleming wurde die Grippe untersucht, und einige Schimmel in seiner Petrischale gefunden. Wie die Mathematiker der alten, Fleming hat verwerfen seine Entdeckung nicht, und der Rest ist Geschichte.

Aber die Geschichte beginnt mit Verdoppelung des Würfels. Bild ein 1-x-1-x-1-Zoll-Würfel. Sein Volumen beträgt 1 x 1 x 1 = 1 cubic inch. Wenn Sie die Länge der Seiten verdoppeln, haben Sie 2 x 2 x 2 = 8 Kubikzoll, aber das ist nicht das Volumen des ursprünglichen Verdopplungs, das ist, was die Alten wollten. Sie wollten einige ein x ein x ein = 2- sie wollten das Volumen verdoppelt werden.

Dieses Problem scheint wie ein einfaches! Sie brauchen nur

Aber dieser Kubikwurzel konnte nicht mit Zirkel und Lineal konstruiert werden. Es war ein unlösbares Problem, sondern arbeiten daran führte zur unbeabsichtigte Entdeckung conics! Wie ist es dazu gekommen?

Hippokrates von Chios ist mit der Konstruktion einige mittleren Anteilen gutgeschrieben zu versuchen, die Verdoppelung Problem zu lösen. Aus der mittleren Proportionen wurden die Gleichungen von conics abgeleitet. EIN bedeuten Anteil, Natürlich ist ein Verhältnis, in dem die Mittel gleich sind.

Beispielsweise,

in dem ein Teil die Mittel gleich sind. Was Hippokrates tat, war, um die Proportionen zu schreiben

und lassen Sie die Verhältnisse in jeder Fraktion gleich r, das Verhältnis wollte er die Verdoppelung Problem zu lösen. Also, wenn jedes Verhältnis gleich r, dann

Aber schauen Sie wieder auf den Proportionen:

Wenn Sie die ersten beiden Verhältnisse nehmen,

und überqueren multiplizieren, haben Sie x² = 2ay, die Gleichung einer Parabel. Nehmen Sie die beiden letzten Verhältnisse,

und überqueren vermehren. Du hast Axt = y² eine andere Parabel. Die ersten und letzten Verhältnisse

einen Querprodukt von 2ein² = xy, die Hyperbel. Eine unbeabsichtigte Folge, die betroffen Mathematik seit Jahrhunderten!