So Analysieren Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung mit Differenzierung

Jedes Mal, wenn Sie in Ihrem Auto, sehen Sie die Differenzierung erster Hand. Ihre Geschwindigkeit ist die erste Ableitung von Ihrer Position. Und wenn man auf das Gaspedal oder die Bremse treten - Beschleunigen oder Abbremsen - erleben Sie eine zweite Ableitung.

Wenn eine Funktion der Position etwas als Funktion der Zeit gibt, gibt die erste Ableitung seiner Geschwindigkeit, und die zweite Ableitung gibt seine Beschleunigung. So unterscheiden Sie Position Geschwindigkeit zu bekommen, und Sie unterscheiden Geschwindigkeit Beschleunigung zu erhalten.

Hier ist ein Beispiel. Ein Jo-Jo bewegt sich gerade nach oben und nach unten. Seine Höhe über dem Boden, als Funktion der Zeit wird durch die Funktion gegeben

woher t ist in Sekunden und H(t) Ist in den Zoll. Beim t = 0, dann ist es 30 Zoll über dem Boden, und nach 4 Sekunden, es ist in einer Höhe von 18 Zoll.

Geschwindigkeit,V(t) Die Ableitung der Position (Höhe, in dieses Problem), und die Beschleunigung, EIN(t) Die Ableitung der Geschwindigkeit. So

Geschwindigkeit gegen Geschwindigkeit. Ihre Freunde werden sich nicht beschweren - oder sogar bemerken - wenn man die Worte "Geschwindigkeit" und "Geschwindigkeit" verwenden austauschbar, aber Ihre freundliche Mathematiker werden beschweren. Hier ist der Unterschied.

Für die Geschwindigkeitsfunktion in der Abbildung oben, nach obenBewegung wird als eine definierte positiv Geschwindigkeit und nach unten Geschwindigkeit wird als eine definierte Negativ Geschwindigkeit - das ist der normale Weg, Geschwindigkeit s in den meisten Analysis und Physik Probleme behandelt. (Wenn die Bewegung horizontal, richtig abgeht ist eine positive Geschwindigkeit und links geht eine negative Geschwindigkeit.)

Geschwindigkeit, auf der anderen Seite, ist immer positiv (oder Null). Wenn ein Auto geht bei 50 mph, zum Beispiel sagen, dass Sie seine Geschwindigkeit ist 50, und du meinst positiv 50, unabhängig davon, ob sie nach rechts oder links geht. Für Geschwindigkeit, tut es die Richtung matters- für die Geschwindigkeit nicht. Im Alltag Geschwindigkeit ist eine einfachere Idee als Geschwindigkeit, weil es mit dem gesunden Menschenverstand übereinstimmt. Aber in der Infinitesimalrechnung, Geschwindigkeit ist eigentlich die schwierigeren Idee, weil es nicht schön passt in den drei Funktionsschema in der Abbildung oben gezeigt.

Sie haben die Geschwindigkeit-Speed-Unterscheidung im Auge zu behalten, wenn Geschwindigkeit und Beschleunigung zu analysieren. Wenn beispielsweise ein Objekt geht nach unten (oder nach links) schneller und schneller, ist seine Geschwindigkeit nimmt zu, aber die Geschwindigkeit ist, abnehmend weil seine Geschwindigkeit ist eine größere negativ wird (und größer Negative sind kleinere Zahlen). Dies scheint seltsam, aber das ist die Art, wie es funktioniert. Und hier ist eine andere seltsame Sache: Die Beschleunigung wird als die Rate der Änderung der Geschwindigkeit definiert ist, nicht beschleunigen. So, wenn ein Objekt sich verlangsamt, während in Richtung nach unten geht, und hat somit eine steigend Geschwindigkeit - da die Geschwindigkeit ein kleiner negativer wird immer - das Objekt ein positiv Beschleunigung. Im alltäglichen Englisch, würde sagen, Sie das Objekt (Verlangsamung) verzögert wird, aber in der Infinitesimalrechnung Klasse, sagen Sie, dass das Objekt eine negative Geschwindigkeit und eine positive Beschleunigung hat. (By the way "Verzögerung" ist, nicht gerade ein technischer Begriff, so sollten Sie es wahrscheinlich in der Infinitesimalrechnung Klasse vermeiden Es ist am besten die folgende Vokabular zu verwenden. "Positive Beschleunigung", "negative Beschleunigung", "beschleunigen", und "verlangsamen."

Maximum und Minimum Höhevon H(t) An der lokalen Extrema Sie in der obigen Abbildung sehen auftreten. So suchen sie, stellen Sie die Ableitung von H(t) - Das ist V(t) - Gleich Null und lösen.

Diese beiden Zahlen sind die Nullstellen von V(t) und das t-Koordinaten - das ist Zeit-Koordinaten - der max und min H(t), Die Sie in der zweiten Figur zu sehen. Mit anderen Worten, das sind die Zeiten, wenn das Yo-Yo seine maximalen und minimalen Höhen erreicht. Stecken Sie diese Zahlen in H(t), Um die Höhen zu erhalten:

H (0,47) asymp- 31,1

H (3.53) asymp- 16.9

So erhält das Jo-Jo so hoch wie etwa 31,1 Zoll über dem Boden bei t asymp- 0,47 Sekunden und so niedrig wie etwa 16,9 Zoll an t asymp- 3,53 Sekunden.

Gesamthubraum wird als die endgültige Position minus der Ausgangsstellung definiert. So, weil das Jo-Jo beginnt bei einer Höhe von 30 und endet in einer Höhe von 18,

Total Verschiebung = 18 - 30 = -12.

Dies ist negativ, da die Netto-Bewegung ist nach unten.

Durchschnittsgeschwindigkeitwird durch die Gesamtverdrängung geteilt durch die verstrichene Zeit gegeben. So,

Diese negative Antwort sagt Ihnen, dass das Jo-Jo ist im Durchschnitt gehen nach unten 3 Zoll pro Sekunde.

Höchst- und Mindestgeschwindigkeitder yo-yo während des Intervalls 0-4 Sekunden mit dem Derivat der bestimmt V(t): Stellen Sie die Ableitung von V(t) - Das ist EIN(t) - Gleich Null und lösen:

Jetzt bewerten V(t) An der kritischen Zahl, 2 und an den Endpunkten des Intervalls 0 und 4:

So hat das Jo-Jo eine maximale Geschwindigkeit von 5 Zoll pro Sekunde zweimal - sowohl am Anfang und am Ende des Intervalls. Er erreicht eine Mindestgeschwindigkeit von -7 Zoll pro Sekunde beim t = 2 Sekunden.

Insgesamt zurückgelegte Streckebestimmt wird durch Addition der Abstände an jedem Bein des Jo-Jos Reise gereist: die oben Bein, das nach unten Bein, und das zweite bis Bein.

Erstens, die Jo-Jo geht aus einer Höhe von 30 Zoll bis etwa 31,1 Zoll bis (wo der erste Wendepunkt ist). Das ist eine Strecke von etwa 1,1 Zoll. Als nächstes geht es von etwa 31,1 bis etwa um 16,9 (die Höhe des zweiten Umkehrpunkt). Das ist eine Entfernung von 31,1 minus 16,9 oder 14,2 Zoll. Schließlich geht das Jo-Jo wieder von etwa 16,9 Zoll auf seine endgültige Höhe von 18 Zoll. Das ist ein weiterer 1,1 Zoll. Fügen Sie diese drei Strecken die Gesamtstrecke zu erhalten gereist: ~ 1.1 + ~ 14.2 + ~ 1.1 asymp- 16,4 Zoll.

Durchschnittsgeschwindigkeitwird durch die Gesamtstrecke durch die abgelaufene Zeit geteilt gegeben. So,

Höchst- und Mindestgeschwindigkeit. Sie bestimmt vorher die Jo-Jo die maximale Geschwindigkeit (5 Zoll pro Sekunde) Und seine Mindestgeschwindigkeit (-7 Zoll pro Sekunde). Eine Geschwindigkeit von -7 ist eine Geschwindigkeit von 7, das ist also das Yo-Yo der Höchstgeschwindigkeit.Seine Mindestgeschwindigkeit von Null erfolgt an den beiden Wendepunkten.

Für eine kontinuierliche Geschwindigkeit Funktion, die Minimum Geschwindigkeit Null ist, wenn die maximalen und minimalen Geschwindigkeiten der entgegengesetzten Vorzeichen, oder wenn einer von ihnen ist Null. Wenn die Maximal- und Minimalgeschwindigkeiten beide positiv oder beide negativ sind, dann ist die Minimum Geschwindigkeit ist der kleinere der absoluten Werte des maximalen und minimalen Geschwindigkeiten. In allen Fällen ist die maximal Geschwindigkeit ist die größerder absoluten Werte der maximalen und minimalen Geschwindigkeiten. Ist das ein Bissen oder was?

Maximale und minimale Beschleunigung kann sinnlos erscheinen, wenn man nur auf die Grafik aussehen kann EIN(t) Und sehen, dass die minimale Beschleunigung von -12 am weitesten links auftritt, wenn t = 0 und daß die Beschleunigung geht dann bis zu seinem Maximum von 12 an der rechten Seite, wenn t = 4. Aber es ist nicht undenkbar, dass Sie einer jener unglaublich anspruchs Kalkül Lehrer, die den Nerv hat bekommen zu verlangen, dass Sie die Mathematik eigentlich tun und Ihre Arbeit zeigen - so den sauren Apfel beißen und tun es.

Um die Beschleunigung des min und max finden ab t = 0 t = 4, stellen Sie die Ableitung von EIN(t) Gleich Null und lösen:

Diese Gleichung, hat natürlich keine Lösungen, so gibt es keine kritischen Zahlen und damit die absolute Extrema in dem Intervall Endpunkte, 0 und 4 erfolgen muss.

Sie kommen in den Antworten, die Sie bereits kennen.

Beachten Sie, dass, wenn die Beschleunigung ist Negativ - im Intervall [0, 2) - das bedeutet, dass die Geschwindigkeit abnehmend. Wenn die Beschleunigung ist positiv - auf dem Intervall (2, 4] - die Geschwindigkeit steigend.

Beschleunigung und Verlangsamung. Herauszufinden, wenn das Jo-Jo ist die Beschleunigung und Verlangsamung ist wahrscheinlich interessanter und beschreibt seine Bewegung als die Info oben. Ein Objekt wird die Beschleunigung (was wir als "Beschleunigung" in der Alltagssprache nennen), wenn die Geschwindigkeit und die Beschleunigung Kalkül beide positiv oder beide negativ sind. Und ein Objekt verlangsamt (was wir als "Verzögerung" nennen), wenn die Geschwindigkeit und die Beschleunigung Kalkül von entgegengesetzten Vorzeichen sind.

Schauen Sie sich alle drei Graphen in der Abbildung oben wieder. Von t = 0 bis ca. t = 0,47 (wenn die Geschwindigkeit Null ist), ist die Geschwindigkeit positive und die Beschleunigung negativ ist, so dass das Jo-Jo verlangsamt Stadt (bis er seine maximale Höhe erreicht hat). Wann t = 0 ist, ist die Verzögerungs größten (12 Zoll pro Sekunde pro Sekunde- Der Graph zeigt eine Beschleunigung von Negativ 12, aber hier wir nennen es eine Verzögerung, so dass die 12 positiv ist). Ab ca t = 0,47 bis t = 2 ist, sind beide Geschwindigkeit und die Beschleunigung negativ ist, so dass das Jo-Jo wieder verlangsamt wird (bis er bei der niedrigsten Höhe anstößt). Schließlich ist aus etwa t = 3,53 bis t = 4, beide sind Geschwindigkeit und Beschleunigung positiv, so wieder das Yo-Yo wird beschleunigt. Der Jo-Jo erreicht seine größte Beschleunigung von 12 Zoll pro Sekunde pro Sekunde beim t = 4 Sekunden.

Binden sie alle zusammen. Beachten Sie die folgenden Verbindungen zwischen den drei Graphen in der Abbildung oben. Das Negativ Abschnitt des Graphen EIN(t) - von t = 0 bis t = 2 - entspricht einer abnehmend Abschnitt des Graphen V(t) Und eine konkav nach unten Abschnitt des Graphen H(t). Das positiv Intervall des Graphen EIN(t)- von t = 2 t = 4 - entspricht einer steigend Intervall auf dem Graph von V(t) Und eine konkav nach oben Intervall auf dem Graphen H(t). Wann t = 2 Sekunden, EIN(t) Eine Null ist, V(t) hat ein lokale Minimum, und H(t) Eine Wendepunkt.