Wie finde ich ein Mittelwert der Funktion mit dem Mittelwertsatz für Integrale
Sie können den Durchschnittswert einer Funktion über ein geschlossenes Intervall finden, indem Sie den Mittelwertsatz für Integrale. Der beste Weg, um den Mittelwertsatz zu verstehen ist, mit einem Diagramm - es unten zu sehen.
Die Grafik auf der linken Seite zeigt ein Rechteck, dessen Fläche eindeutig ist Weniger als die Fläche unter der Kurve zwischen 2 und 5. Das Rechteck hat eine Höhe gleich dem niedrigsten Punkt auf der Kurve in dem Intervall von 2 bis 5.
Das mittlere Diagramm zeigt ein Rechteck, dessen Höhe gleich dem höchsten Punkt auf der Kurve zwischen 2 und 5. Seine Fläche ist eindeutig größer als die Fläche unter der Kurve. Inzwischen denken Sie, # 147-Isn't ein Rechteck größer als die kurze und kürzer als das hohen dessen Fläche das Gleiche wie die Fläche unter der Kurve? # 148- Natürlich. Und dieses Rechteck kreuzt offensichtlich die Kurve irgendwo im Intervall. Diese sogenannte Mittelwert Rechteck, gezeigt auf der rechten Seite, fasst im Grunde für Integralen den Mittelwertsatz auf.
Es ist wirklich nur der gesunde Menschenverstand. Aber hier ist der Mathe-Hokuspokus.
Der Mittelwertsatz für Integrale: Ob f (x) Eine stetige Funktion ist auf dem geschlossenen Intervall [a, b], Dann gibt es eine Reihe c in dem geschlossenen Intervall, so dass
Der Satz im Grunde garantiert nur die Existenz des Mittelwertes Rechteck.
Die Fläche des Mittelwerts Rechteck -, die die gleichen wie die Fläche unter der Kurve ist - entspricht Länge mal Breite, oder Base mal Höhe, Recht?
Diese Höhe ist die Durchschnittswert der Funktion über das Intervall in Frage.
Hier ist ein Beispiel. Was ist die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Fahrzeugs zwischen t = 9 Sekunden t = 16 Sekunden, dessen Geschwindigkeit in feet per second durch die Funktion gegeben ist,
Nach der Definition der Mittelwert wird diese Durchschnittsgeschwindigkeit gegeben durch
Bestimmung der Fläche unter der Kurve zwischen 9 und 16.
Dieser Bereich, der durch die Art und Weise ist die gesamte Strecke vom 9. bis 16. Sekunden zurückgelegten Strecke. Siehst du, warum? Betrachten wir den Mittelwert Rechteck für dieses Problem. Seine Höhe ist eine Geschwindigkeit (da die Funktionswerte oder Höhen, sind Geschwindigkeiten) und seine Basis ist eine Menge an Zeit, so dass seine Fläche Geschwindigkeit mal Zeit die gleich Entfernung. Alternativ erinnern, daß die Ableitung der Positions Geschwindigkeit ist. Also, die antiderivative der Geschwindigkeit - was Sie gerade in diesem Schritt tat - ist Position, und die Änderung der Position vom 9. bis 16. Sekunden zeigt der Gesamtstrecke.
Teilen Sie diesen Bereich, Gesamtstrecke, durch das Zeitintervall von 9 bis 16, nämlich 7.
# 8776- 105,7 Fuß pro Sekunde
Es macht mehr Sinn, über diese Probleme in Bezug auf die Teilung zu denken: Bereich gleich Base mal Höhe, so ist die Höhe des Mittelwertes Rechtecks gleich seiner Fläche geteilt von seiner Basis.