So verwenden Gaußsche Eliminationsgleichungssysteme zu lösen
Gauß-Elimination ist wahrscheinlich die beste Methode für Gleichungssysteme zu lösen, wenn Sie nicht über einen Grafik-Taschenrechner oder ein Computerprogramm zu helfen.
Die Ziele der Gauß-Elimination sind die linke obere Ecke Element a 1, verwenden elementare Zeilenoperationen zu machen 0er in allen Positionen unterhalb dieser ersten 1 zu bekommen, erhalten 1s für führende Koeffizienten in jeder Zeile diagonal von oben links nach unten rechts Ecke, und 0er unter allen führenden Koeffizienten erhalten. Grundsätzlich Sie alle Variablen in der letzten Reihe zu beseitigen mit einer Ausnahme, alle Variablen mit Ausnahme von zwei in der obigen Gleichung, dass man, und so weiter und so weiter an die Spitze Gleichung, die alle Variablen hat. Dann können Sie Ersatz für eine Variable durch Aufstecken der Werte in einer Zeit zu lösen verwenden zurück Sie wissen, in die Gleichungen von unten nach oben.
Sie erreichen diese Eliminierung durch die Beseitigung x (Oder was auch immer Variable kommt zuerst) in allen Gleichungen mit Ausnahme des ersten. Dann beseitigen die zweite Variable in allen Gleichungen mit Ausnahme der ersten beiden. Dieser Prozess wird fortgesetzt, pro Zeile eine weitere Variable eliminiert, bis nur noch eine Variable in der letzten Zeile verlassen wird. Dann lösen für diese Variable.
Sie können drei Operationen auf Matrizen durchführen, um Variablen in einem System von linearen Gleichungen zu eliminieren:
Sie können durch eine Konstante (ungleich Null) jede Zeile multiplizieren.
vervielfacht Reihe drei von -2 Sie eine neue Zeile drei zu geben.
Sie können zwei Reihen wechseln.
Swaps Reihen eins und zwei.
Sie können zusammen zwei Zeilen hinzufügen.
fügt Zeilen eins und zwei und schreibt sie in Reihe zwei.
Sie können sogar mehr als eine Operation durchführen. Sie können eine Zeile mit einer Konstanten multiplizieren und dann zu einer anderen Zeile hinzufügen, um diese Zeile zu ändern. Zum Beispiel können Sie Reihe eins von 3 multiplizieren und dann, dass zwei bis Zeile eine neue Zeile zwei zu erstellen:
Betrachten Sie die folgende erweiterte Matrix:
Nun nehmen Sie einen Blick auf die Ziele der Gauß-Elimination, um die folgenden Schritte auszuführen diese Matrix zu lösen:
Füllen Sie das erste Ziel: Sie erhalten 1 in der linken oberen Ecke.
Sie haben es schon!
Füllen Sie das zweite Ziel: 0s unterhalb der 1 in der ersten Spalte zu bekommen.
Sie müssen zusammen hier die Kombination aus zwei Matrix-Operationen zu verwenden. Hier ist, was sollten Sie sich fragen: "Was muss ich zwei bis Zeile einem 2 eine 0 machen werden" Die Antwort ist -2.
Dieser Schritt kann durch Multiplikation der ersten Reihe von -2 und Zugabe der erhaltenen Reihe in die zweite Reihe erreicht werden. Mit anderen Worten, führen Sie den Vorgang
die produziert diese neue Zeile:
(-2 -4 -6: 14) + (2 -3 -5: 9) = (0 -7 -11: 23)
Sie haben nun diese Matrix:
In der dritten Reihe, eine 0 unter der 1 erhalten.
Um diesen Schritt zu tun, müssen Sie den Vorgang
Bei dieser Berechnung sollten Sie jetzt die folgende Matrix:
Holen Sie sich eine 1 in der zweiten Reihe, zweite Spalte.
Um diesen Schritt zu tun, müssen Sie von einem Konstant- mit anderen Worten, mehrfach Reihe zwei mit dem entsprechenden reziprok zu multiplizieren:
Diese Berechnung erzeugt eine neue, zweite Zeile:
Holen Sie sich eine 0 unter der 1 Sie in Zeile zwei erstellt.
Zurück zur guten alten Combo-Betrieb für die dritte Reihe:
Hier ist noch eine weitere Version der Matrix:
Ein Einen 1, diesmal in der dritten Reihe, dritte Spalte.
Multiplizieren, um die dritte Reihe mit dem Kehrwert des Koeffizienten a 1 zu erhalten:
Sie haben die Hauptdiagonale nachdem ich die Mathematik abgeschlossen:
Sie haben nun eine Matrix, in Stufenform haben, die Ihnen die Lösungen gibt, wenn man die Substitution verwenden zurück (die letzte Zeile bedeutet, dass 0x + 0y + 1z = 4 ist, oder z = -4). Allerdings wollen, wenn Sie wissen, wie diese Matrix in reduzierten Stufenform zu erhalten, die Lösungen zu finden, gehen Sie folgendermaßen vor:
Holen Sie sich eine 0 in Zeile zwei, Spalte drei.
Multipliziert Reihe drei durch die Konstante -11/7 und dann Hinzufügen von Zeilen zwei und drei
gibt Ihnen die folgende Matrix:
Holen Sie sich eine 0 in Zeile eins, Spalte drei.
Die Operation
gibt Ihnen die folgende Matrix:
Holen Sie sich eine 0 in Zeile eins, Spalte zwei.
Schließlich wird der Betrieb
gibt Ihnen diese Matrix:
Diese Matrix, in reduzierten Stufenform, ist eigentlich die Lösung für das System: x = -1, y = 3 ist, und z = -4.