Lösen von Gleichungssysteme Mit Bestimmungsfaktoren: Cramer-Regel
Wenn Ihr Pre-Kalkül Lehrer Sie fragt ein System von Gleichungen zu lösen, können Sie ihn oder sie beeindrucken durch Cramer-Regel anstatt mit einem Grafik-Taschenrechner verwenden.
Cramer-Regel besagt, dass wenn die Determinante einer Koeffizienten-Matrix | A | nicht 0 ist, dann können die Lösungen für ein System von linearen Gleichungen gefunden werden, wie folgt:
Falls die Matrix das Gleichungssystem beschreibt, sieht wie folgt aus:
Dann
und so weiter, bis Sie für alle Variablen gelöst. Mit anderen Worten werden die Lösungskomponenten leicht durch Berechnung der entsprechenden Verhältnisse von Determinanten einer Familie von Matrizen erhalten. Beachten Sie, dass der Nenner dieser Komponenten die Determinante der Koeffizientenmatrix ist.
Diese Regel ist hilfreich, wenn die Systeme sehr klein sind oder wenn Sie einen Grafikrechner verwenden können, die Determinanten zu bestimmen, da es hilft, finden Sie die Lösungen mit minimalem Orte verwechselt zu werden. Um es zu nutzen, finden Sie einfach die Determinante der Koeffizientenmatrix.
Die Determinante einer 2-x-2-Matrix wie diese:
sein wird definiert Anzeige - bc. Die Determinante einer 3-x-3-Matrix ist ein wenig komplizierter. Wenn die Matrix
dann können Sie die Determinante finden, indem Sie die folgenden Schritte:
Umschreiben den ersten beiden Spalten unmittelbar nach der dritten Spalte.
Zeichnen Sie drei diagonalen Linien von links oben nach rechts unten und drei diagonalen Linien von unten links nach oben rechts, wie in dieser Figur gezeigt.
Wie die Determinante einer 3-x-3-Matrix zu finden.Multiplizieren Sie unten die drei Diagonalen von links nach rechts und dann diese Produkte hinzufügen. Multiplizieren Sie die anderen drei von links nach rechts und diese Produkte hinzufügen. Dann ziehen Sie die zweite Summe aus der ersten Summe.
Die Determinante der 3-x-3-Matrix ist:
Um die Determinante dieser 3-x-3-Matrix zu finden:
Sie verwenden einen Prozess bekannt als mit Diagonalen, was man in dieser Figur sehen kann.
Dieses Beispiel bietet eine Abkürzung, um die Determinante einer 3-x-3-Matrix zu finden. Für 4 x 4 und größere Matrizen, die verwendeten Methoden sind hier nicht gültig.
Nachdem Sie die Determinante der Koeffizientenmatrix (entweder von Hand oder mit einem technischen Gerät) zu finden, ersetzen Sie die erste Spalte der Koeffizientenmatrix mit der Antwort-Matrix von der anderen Seite des Gleichheitszeichens und die Determinante dieser neuen Matrix finden. Dann ersetzen Sie die zweite Spalte der Koeffizientenmatrix mit der Antwort-Matrix und die Determinante dieser Matrix finden. Wiederholen Sie diesen Vorgang, bis Sie jede Spalte ersetzt und gefunden haben, jede neue Determinante. Die Werte der jeweiligen Variablen sind gleich der Determinante der neuen Matrix durch die Determinante geteilt (wenn man die entsprechende Spalte ersetzt) der Koeffizientenmatrix.
Sie können nicht Cramer-Regel verwenden, wenn die Matrix nicht quadratisch ist, oder wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix 0 ist, weil Sie nicht von 0. Cramer-Regel ist sehr nützlich für einen 2-x-2 oder höher System teilen kann lineare Gleichungen.
ein 3-x-3-Gleichungssystem zu lösen, wie beispielsweise
Cramer-Regel verwenden, setzen Sie die Variablen wie folgt zusammen:
