Systeme mit drei linearen Gleichungen
Wenn mit Gleichungssystemen arbeiten, können Sie für eine Variable zu einem Zeitpunkt, zu lösen. Also, wenn eine dritte lineare Gleichung entlang kommt (zu bringen, natürlich, seine variable z
), Gut, drei ein Publikum. Sie können jedoch leicht mit allen Variablen umgehen, solange Sie die jeweils wiederum adressieren.Sie lösen Systeme von drei (oder mehr) linearen Gleichungen, die die Beseitigung Methode:
Beginnend mit drei Gleichungen, beseitigen eine Variable zwei Gleichungen mit den beiden verbleibenden Variablen zu erstellen.
Koppeln der ersten Gleichung mit dem zweiten, der zweite mit dem dritten oder den ersten mit dem dritten der Variablen zu eliminieren. Dann wählen Sie eine andere Paarung und beseitigen die gleiche Variable.
Aus diesen beiden neuen Gleichungen, eine zweite Variable zu eliminieren, so dass Sie für den einen zu lösen, die bleibt.
Ersetzen Sie zurück in die anderen Gleichungen, die die Werte der anderen Variablen zu finden.
Stecken Sie die erste Variable, die Sie für gelöst in einer der zwei Variablen Gleichungen Sie in Schritt 1 gefundenen dann für die dritte Variable lösen, indem die bekannten Werte in einer der ursprünglichen Gleichungen anschließen.
Beispielfrage
Hier finden Sie die gemeinsame Lösung des Gleichungssystems x + 5y - 2z = 2, 4x + 3y + 2z = 2 und 3x - 3y - 5z = 38.
x= 4, y = -2, z = -4 - Auch dreifach als bestellt geschrieben (4, -2, -4). Sie können wählen, eine der drei Variablen zu eliminieren, aber es ist in der Regel ein guter besser-best-schlechter-schlechteste Entscheidung, die getroffen werden können.
Bei diesem Problem ist die beste Wahl die zu beseitigen x Variable. Das x Variable hat den einzigen Koeffizienten von 1 in alle Gleichungen. Sie suchen eine 1 oder -1 oder für Vielfache der gleichen Anzahl in den Koeffizienten einer einzelnen Variablen.
Haben zwei Paarungen der Beseitigung. Multiplizieren Sie die erste Gleichung von -4 und fügen Sie ihn in der zweiten Gleichung:
Für die zweite Paarung, multiplizieren die erste Gleichung von -3 und es in die dritte Gleichung hinzu:
Dann fügen Sie die beiden Gleichungen, die von -10 Ergebnis (nach der zweiten Gleichung multipliziert, so dass Sie die zu beseitigen z'S):
Teilen jede Seite der Gleichung von 163 zu erhalten y = -2. Ersetze das y in -18y + z = 32 mit dem -2, und Sie erhalten 18 (-2) + z = 32- 36 + z = 32- z = -4.
Nun nehmen Sie die Werte für y und z und steckte sie in eine der ursprünglichen Gleichungen zu lösen x. Du erhältst x + 5 (-2) - 2 (-4) = 2- x - 10 + 8 = 2- x - 2 = 2- x = 4 ist.
Übungsfragen
Hier finden Sie die gemeinsame Lösung des Gleichungssystems 3x + 4y - z = 7, 2x - 3y + 3z = 5 ist, und x + 5y - 2z = 0.
Hier finden Sie die gemeinsame Lösung des Gleichungssystems 8x + 3y - 2z = -2, x - 3y + 4z = -13 Und 6x + 4y - z = -3.
Im Folgenden finden Sie Antworten auf die Fragen der Praxis:
Die Antwort ist x = 4, y = -2, z = -3.
Beseitigen x'S durch die dritte Gleichung durch Multiplizieren -3 und Hinzufügen zu der ersten Gleichung: Sie -11 erhalteny + 5z = 7. Dann beseitigen x'S in einer anderen Kombination durch die ursprüngliche dritte Gleichung mit -2 multipliziert und Hinzufügen zu der zweiten Gleichung: Sie -13 erhalteny + 7z = 5. Verwendung der Cramerschen Regel auf diese beiden resultierenden Gleichungen:
Jetzt ersetzen -2 y und -3 für z in der ursprünglichen dritten Gleichung zu lösen für x. Du erhältst x + 5 (-2) - 2 (-3) = 0- x - 10 + 6 = 0- x - 4 = 0- x = 4 ist.
Die Antwort ist x = -1, y = 0 ist, z = -3.
Beseitigen z'S durch die erste Gleichung von 2 multipliziert und Hinzufügen zu der zweiten Gleichung 17 zu erhaltenx + 3y = -17. Dann beseitigen z'S in einer anderen Kombination durch die dritte Gleichung mit 4 multipliziert und Hinzufügen zu der zweiten Gleichung: Sie 25 erhaltenx + 13y = -25. Verwenden der Cramerschen Regel auf diese beiden resultierenden Gleichungen:
Jetzt ersetzen x = -1, Und y = 0 in das ursprüngliche dritte Gleichung zu erhalten 6 (-1) + 4 (0) - z = -3- -6 - z = -3- -z = 3- z = -3.