Das Konzept der Fehlerfortpflanzung
Eine weniger extreme Form der alte Spruch "Müll in gleich garbage out" ist "Fuzzy in gleich unscharf aus." Zufällige Schwankungen in einer oder mehreren Messgrößen erzeugen zufällige Schwankungen in alles, was Sie von diesen Variablen berechnen. Dieser Prozess wird als die Ausbreitung von Fehlern. Sie müssen wissen, wie Messfehler durch eine Berechnung propagieren, die Sie auf einer gemessenen Menge durchführen.
Hier ist eine einfache Möglichkeit, die SE einer Variablen zu schätzen (Y) Das ist von fast jedem mathematischen Ausdruck berechnet, die eine einzelne Variable beinhaltet (X). Beginnend mit dem beobachteten X Wert (Xo) Und deren Standardfehler (SE), Machen Sie einfach die folgende 3-Stufen-Berechnung:
Werten Sie den Ausdruck, und ersetzen Sie den Wert Xo - SE für X in der Formel. Rufen Sie das Ergebnis Y1.
Werten Sie den Ausdruck, und ersetzen Sie den Wert Xo + SE für X in der Formel. Rufen Sie das Ergebnis Y2.
Das SE von Y ist einfach (Y2 - Y1) / 2.
Hier ist ein Beispiel, das zeigt, wie (und warum) dieser Prozess funktioniert.
Angenommen, Sie den Durchmesser messen (d) Einer Münze als 2,3 Zentimeter, einen Sattel oder Lineal, die Sie (aus Erfahrung wissen) eine SE von # 177- 0,2 Zentimeter. Jetzt sagen, dass Sie den Bereich berechnet werden soll (EIN) Der Münze von dem gemessenen Durchmesser.
Wenn Sie wissen, dass die Fläche eines Kreises, der durch die Formel gegeben ist
Sie können sofort die Fläche der Münze als berechnen
die Sie auf Ihrem Rechner arbeiten, um 4.15475628 Quadratzentimeter erhalten. Natürlich würde man nie auf den Bereich, dass viele Stellen melden, weil Sie nicht sehr genau den Durchmesser messen hat. So einfach, wie genau ist Ihre berechnete Fläche? Mit anderen Worten, wie geht das # 177- 0,2-Zentimeter-SE von d breiten sich durch die Formel, um die SE zu geben, EIN?
Eine Möglichkeit, diese Frage zu beantworten, wäre ein zu prüfen, Marge von Error (ME) um den beobachteten Durchmesser (d), Dass geht von einer SE unter d zu einer SE oben d. Die ME ist immer zwei SEs breit. In der Münze Beispiel erstreckt sich der Durchmesser des ME 2,3-0,2 zu 2.3 + 0,2 oder 2,1 bis 2,5 Zentimeter.
Jetzt die Bereiche heraus zu den Durchmessern an den unteren und oberen Enden des ME entspricht. Mit 2.1 für d im Bereich Formel ergibt EIN = 3,46, und unter Verwendung von 2,5 für d gibt EIN = 4.91. So ist die ME für den Bereich der Münze geht 3,46-4,91 Quadratzentimeter.
Die Breite dieses ME ist 4,91-3,46 oder 1,45 Quadratzentimeter, die für den Bereich zwei SEs darstellt. So ist die SE des Bereichs 1,45 / 2 oder 0,725 Quadratzentimeter.
Die gekrümmte Linie stellt die Formel EIN = # 960- / 4) x d2. Die dunkle Pfeile zeigen, wie der gemessene Durchmesser (2,3 Zentimeter), wenn sie in die Formel eingesteckt ist, eine berechnete Fläche von etwa 4,15 Quadratzentimeter erzeugt. Die helleren grauen Pfeile zeigen die unteren und oberen Ende des ME und zeigen, wie die ME für den Durchmesser erzeugt ein ME für die Gegend.
Die SE des Bereichs hängt von der SE des Durchmessers und der Steigung der Kurve. In der Tat ist die SE des Bereichs der SE des Durchmessers gleich der Steigung der Kurve, multipliziert.
Leider kann das einfache Verfahren in diesem Beispiel veranschaulicht nicht zu handhaben Funktionen von zwei oder mehr Variablen verallgemeinert werden, wie eine Person, die Body-Mass-Index von Größe und Gewicht berechnet wird.
Mathematiker haben eine sehr allgemeine Formel für die Berechnung der (ungefähr) abgeleitet, wie SEs in einer oder mehreren Variablen durch einen beliebigen Ausdruck propagieren diese Variablen beteiligt, aber es ist sehr kompliziert, und es verwenden, um Sie bei Kalkül wirklich gut zu sein haben, oder Sie werden mit ziemlicher Sicherheit machen Fehler auf dem Weg.
Glücklicherweise gibt es viel bessere Alternativen:
Sie können einige einfache Fehlerfortpflanzung Formeln für einfache Ausdrücke verwenden.
Noch einfacher können Sie auf eine Webseite gehen, die die fehlerAusbreitungsBerechnungen für Funktionen einer oder zwei Variablen tut.
Sie können eine sehr allgemeine Simulationsansatz verwenden, die sich leicht analysieren können, wie Fehler durch selbst die komplizierte Ausdrücke propagieren, eine beliebige Anzahl von Variablen beteiligt sind.