Wie Ändern Sische Koordinaten zu Kugelkoordinaten

In der Quantenphysik, die tatsächlichen Eigenfunktionen (nicht nur die Eigenzustände) der Drehimpulsoperatoren wie L zu finden² und ich_z, Sie wenden sich von rechtwinkligen Koordinaten, x, y, und z, in sphärische Koordinaten, weil es wird die Mathematik viel einfacher (immerhin Drehimpuls über die Dinge gehen im Kreis) zu machen. Die folgende Abbildung zeigt die sphärische Koordinatensystem.

In der rechteckigen (Cartesian) Koordinatensystem, verwenden Sie x, y, und z zu orientieren Sie sich. In dem sphärischen Koordinatensystem verwenden Sie auch drei Größen:

wie die Abbildung zeigt. Sie können auf diese Weise zwischen dem sphärischen Koordinatensystem und der rechteckige übersetzen: Der r Vektor Länge des Vektors mit dem Teilchen, das Drehimpuls hat,

ist der Winkel der r von dem z Achse und

ist der Winkel der r von dem x Achse.

Betrachten wir die Gleichungen für Drehimpuls:

Wenn Sie die Drehimpulsgleichungen nehmen mit den sphärischen Koordinatensystem Umrechnungsgleichungen, können Sie die folgenden ableiten:

Okay, schauen diese Gleichungen ziemlich beteiligt. Aber gibt es eine Sache zu bemerken: Sie hängen nur von

was bedeutet, ihre Eigenzustände hängen nur von

nicht auf r. So sind die Eigenfunktionen der Operatoren in der vorhergehenden Liste kann wie folgt bezeichnet werden:

Traditionell geben Sie den Namen

zu den Eigenfunktionen des Drehimpulses in Kugelkoordinaten, so haben Sie die folgenden Schritte aus:

In Ordnung, Zeit auf der Suche nach der tatsächlichen Form zu arbeiten, von

Sie wissen, dass, wenn Sie die L verwenden² und ich_z Betreiber auf Winkelimpulseigen, erhalten Sie diese:

So muss Folgendes erfüllt sein:

In der Tat kann man weiter gehen. Man beachte, dass L_z hängt nur von

was zeigt, dass Sie aufspalten

bis in einen Teil, der abhängig von

und ein Teil, das hängt davon ab,

Spaltung

in Teile sieht wie folgt aus:

Das ist, was mit sphärischen macht Arbeit so hilfreich koordiniert - Sie die Eigenfunktionen in zwei Teile aufspalten, eine, die nur davon abhängt,

und ein Teil, der nur davon abhängt,