Wie Angular Momentum Eigenwerte zu finden

Wenn Sie die Eigenwerte von Drehimpulszustände in der Quantenmechanik haben, können Sie den Hamilton-Operator zu lösen und die erlaubten Energieniveaus eines Objekts mit Drehimpuls erhalten. Die Eigenwerte des Drehimpulses sind die möglichen Werte der Drehimpuls zu nehmen.

Hier ist, wie Eigenzustand Gleichungen abzuleiten mit

Man beachte, dass L² - L_z² = L_x² + L_y², das ist eine positive Zahl, so

Das bedeutet, dass

Und Substitution in

und unter Verwendung der Tatsache, dass die Eigenzustände normalisiert sind, gibt Ihnen dies:

So gibt es einen maximal möglichen Wert von

die Sie anrufen können

Sie können nun klug sein, weil es ein Zustand sein muss

so dass Sie nicht erhöhen können

nicht mehr. Wenn Sie also das Anheben Operator anwenden, erhalten Sie Null:

Die Anwendung der Senkung Bediener das gibt Ihnen auch Null:

Und weil

das bedeutet, dass die folgenden Bedingungen erfüllt ist:

Putting in

gibt Ihnen dies:

An diesem Punkt ist es üblich, umbenennen

Sie können sogar noch mehr sagen. Zusätzlich zu einer

muss es auch sein,

so dass, wenn Sie die Senkung des Bedieners, L gelten_-, Sie erhalten Null, weil Sie nicht tiefer gehen als

Und Sie können L anwenden₊ dazu auch:

Von

Du weißt, dass

was gibt Ihnen die folgenden Möglichkeiten:

Und Vergleichen dieser Gleichung

gibt Ihnen

Beachten Sie, dass, weil Sie erreichen

durch n aufeinanderfolgende Anwendungen von

Sie erhalten die folgenden:

diese beiden Gleichungen Kopplung gibt Ihnen

Deswegen,

kann entweder eine ganze Zahl oder eine halbe ganze Zahl sein (je nachdem, ob n gerade oder ungerade ist).

weil

und n eine positive Zahl ist, können Sie feststellen, dass

So, jetzt haben Sie es:

• Die Eigenzustände | l, m >.

• Die Quantenzahl des Gesamtdrehimpuls l.

• Die Quantenzahl des Drehimpulses entlang der z Achse m.

  

Für jede l, es gibt 2l + 1 Werte von m. Wenn beispielsweise l = 2, dann m kann -2, -1, 0, 1, oder 2 betragen.

Sie können einen Vertreter L und L sehen_z in der Abbildung.

L ist der Gesamtdrehimpuls und L_z ist die Projektion dieses Gesamtdrehimpuls auf die z Achse.