Die Anwendung des Schr & # 246-dinger Gleichung in drei Dimensionen
In der Quantenphysik, können Sie die Schr # 246-dinger Gleichung gelten, wenn Sie auf Probleme arbeiten, die eine zentrale Potential haben. Dies sind Probleme, wo Sie in der Lage, die Wellenfunktion in einen radialen Teil zu trennen (die auf der Form des Potentials abhängt) und einem Winkelteil, das eine sphärische Harmonische ist.
Zentralpotentialen sind sphärisch symmetrische Potentiale von der Art, wo V (r) = V (r). Mit anderen Worten, ist das Potential unabhängig von dem Vektor Natur des Radius vector- das Potential nur den Betrag des Vektors hängt von r (welches ist r) Und nicht von dem Winkel des r.
Die Schr # 246-dinger Gleichung sieht wie folgt in drei Dimensionen, in denen
ist der Laplace-Operator:
Und der Laplace-Operator sieht wie folgt in kartesischen Koordinaten:
In Kugelkoordinaten, dann ist es ein wenig chaotisch, aber Sie können später zu vereinfachen. Schauen Sie sich die sphärische Laplace-Operator aus:
Hier, L2 ist das Quadrat der Bahndrehimpuls:
So in Kugelkoordinaten, sieht die Schr # 246-dinger-Gleichung für ein zentrales Potenzial wie dies, wenn Sie in den Bedingungen ersetzen:
Werfen Sie einen Blick auf die vorhergehenden Gleichung. Der erste Term entspricht tatsächlich der radiale kinetische Energie - das heißt, die kinetische Energie des Teilchens in der radialen Richtung bewegt. Der zweite Term entspricht dem kinetische Rotationsenergie. Und der dritte Term entspricht dem potenzielle Energie.
Was kann man also sagen, über die Lösungen für diese Version des Schr # 246-dinger Gleichung? Sie können beachten Sie, dass der erste Term nur davon abhängt, r, ebenso wie die dritte und dass der zweite Term hängt nur von Winkeln. So können Sie die Wellenfunktion zu brechen,
in zwei Teile:
Ein Radial Teil
Ein Teil, der auf den Winkel abhängt
Dies ist eine besondere Eigenschaft von Problemen mit zentralen Potenziale.