Finden Sie die Eigenfunktionen von Lz in Kugelkoordinaten

An einem gewissen Punkt, Ihre Quantenphysik Lehrer können Sie bitten, die Eigenfunktionen von L zu finden_z in Kugelkoordinaten. In sphärischen Koordinaten, die L_z Betreiber sieht wie folgt aus:

welches die folgenden:

Und weil

Diese Gleichung kann in dieser Version geschrieben werden:

Cancelling aus Begriffen aus den beiden Seiten dieser Gleichung gibt Ihnen diese Differentialgleichung:

Das sieht einfach zu lösen, und die Lösung ist einfach

wobei C eine Integrationskonstante.

Sie können C bestimmen indem sie darauf bestehen, dass

normalisiert werden - das heißt, dass die folgende halten wahr:

(Denken Sie daran, dass das Sternchen-Symbol

bedeutet das komplexe Konjugat. Ein komplexes Konjugat kippt das Vorzeichen der realen und imaginären Teile einer komplexen Zahl zu verbinden.)

Also das gibt Ihnen

Sie sind nun in der Lage, die Form zu bestimmen,

die gleich