So finden Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren für Entartete Hamiltonians

Mit Hilfe der Quantenphysik, können Sie bestimmen, die f Eigenwerte und Eigenvektoren Anpassungs für Systeme, in denen die Energien degeneriert sind. Werfen Sie einen Blick auf diese ungestörte Hamilton-Operator:

Mit anderen Worten, haben mehrere Zustände die gleiche Energie. Sagen die Energiezustände sind f-fach degeneriert, wie folgt aus:

Wie wirkt sich das auf das Störungsbild? Der vollständige Hamilton-Operator, H, ist aus dem ursprünglichen, ungestörte Hamilton-Operator aus, H₀, und die Störung Hamilton-Operator,

In nullter Näherung, können Sie die Eigenfunktion schreiben

als eine Kombination der entarteten Zuständen

Beachten Sie, dass in dem, was folgt, Sie davon ausgehen, dass

ob m nicht gleich n. Außerdem übernehmen Sie, dass die

normiert sind - das heißt,

Anstecken diese nullten Ordnung Gleichung in die vollständige Hamilton-Gleichung, erhalten Sie

Nun, dass die Gleichung multipliziert mit

gibt Ihnen

Mit der Tatsache, dass

ob m nicht gleich n gibt Ihnen

Physiker schreiben oft, dass die Gleichung als

woher

Und die Leute schreiben auch, dass die Gleichung als

wobei E⁽¹⁾_n = E_n - E⁽⁰⁾_n. Das ist ein System von linearen Gleichungen, und die Lösung besteht nur, wenn die Determinante dieser Matrix nicht verschwindende ist:

Die Determinante dieser Matrix ist ein ften Grades Gleichung in E⁽¹⁾_n, und es hat f verschiedene Wurzeln,

Jene f verschiedene Wurzeln sind die ersten Ordnung Korrekturen an den Hamilton-Operator. Gewöhnlich sind diese Wurzeln anders, weil der angelegten Störung. Mit anderen Worten, wird die Störung typischerweise der Degeneriert befreien.

Also hier ist die Art und Weise Sie die Eigenwerte zu der ersten Ordnung finden - richten Sie ein f-durch-f Matrix der Störung Hamilton-Operator,

diagonalisieren Dann diese Matrix und bestimmen die f Eigenwerte

und die dazugehörigen Eigenvektoren:

Dann erhalten Sie die Energieeigenwerte in erster Ordnung auf diese Weise:

Und die Eigenvektoren sind