Wie man Leite die Schr & # 246-dinger Gleichung
In der Quantenphysik, die Schr # 246-dinger Technik, die Wellenmechanik beinhaltet, nutzt Funktionen Welle, meist in der Lage, Basis, Fragen in der Quantenphysik zu einer Differentialgleichung zu reduzieren.
Werner Heisen entwickelte die Matrix orientierte Sicht der Quantenphysik, manchmal Matrizenmechanik genannt. Die Matrixdarstellung ist für viele Probleme in Ordnung, aber manchmal muss man daran vorbei gehen, wie Sie gleich sehen.
Eines der zentralen Probleme der Quantenmechanik ist die Energieniveaus eines Systems zu berechnen. Der Energieoperator ist der Hamilton-Operator, H genannt, und das Finden der Energieniveaus eines System zusammenbricht, um die Eigenwerte des Problems zu finden:
Hier E ist ein Eigenwert des H-Operator.
Hier ist die gleiche Gleichung in Matrixausdrücke:
Die erlaubten Energieniveaus des physikalischen Systems sind die Eigenwerte E, welche diese Gleichung erfüllen. Diese können durch Lösen der charakteristische Polynom zu finden, die auf Null ab Setzen der Determinante der obigen Matrix leitet, wie so
Das ist in Ordnung, wenn Sie eine diskrete Basis von Eigenvektoren haben - wenn die Anzahl der Energiezustände endlich ist. Aber was, wenn die Zahl der Energiezustände ist unendlich? In diesem Fall können Sie nicht mehr eine diskrete Basis für Ihre Betreiber und BHs und Märkten nutzen - Sie verwenden ein kontinuierlich Basis.
Quantenmechanik in einer kontinuierlichen Basis darstellt, ist eine Erfindung des Physikers Erwin Schr # 246-dinger. Bei der kontinuierlichen Basis, werden Summierungen Integrale. Nehmen wir zum Beispiel die folgende Beziehung, wo ich die Identitätsmatrix ist:
Es wird wie folgt vor:
Und jeder ket
kann auf Basis anderer Märkten ausgebaut werden,
so was:
Werfen Sie einen Blick auf die Position des Bedieners, R, in einer kontinuierlichen Basis. diesen Operator Anwendung gibt Ihnen r, der Positionsvektor:
In dieser Gleichung gibt die Position des Bedieners auf einen Zustandsvektor Anwendung der Standorte, r, dass ein Teilchen können zu finden. Sie können eine beliebige ket in der Lage Basis wie folgt erweitern:
Und das wird
Hier ist eine sehr wichtige Sache zu verstehen:
ist der Welle Funktion für den Zustandsvektor
- es ist die Vertretung der ket in der Lage Basis.
Oder gemeinsam Bedingungen, es ist nur eine Funktion, bei der Menge
stellt die Wahrscheinlichkeit dar, daß das Teilchen in der Region gefunden werden, d3r zentriert bei r.
Die Wellenfunktion ist die Grundlage dessen, was heißt Wellenmechanik, im Gegensatz Mechanik zur Matrix. Was wichtig ist, zu wissen, ist, dass, wenn Sie repräsentieren physikalische Systeme in der Wellenmechanik sprechen Sie nicht über die Basis lose BHs und Märkten der Matrix verwenden Mechanik- eher, Sie in der Regel die Wellenfunktion verwenden - das heißt, BHs und Märkten in der Position Basis.
Deshalb gehen Sie sprechen über
Diese Wellenfunktion ist nur ein ket in der Lage Basis. So in der Wellenmechanik,
wird wie folgt vor:
Sie können dies wie folgt schreiben:
Aber was ist
Es ist gleich
Der Hamilton-Operator, H, ist die Gesamtenergie des Systems, kinetisch (p2/ 2m) Plus-Potential (V (r)), So dass Sie die folgende Gleichung erhalten:
Aber der Impulsoperator ist
Daher Substitution des Impulsoperator für p gibt Ihnen dies:
der Laplace-Operator verwenden, können Sie diese Gleichung erhalten:
Sie können diese Gleichung umschreiben, wie die folgenden (die so genannte Schr # 246-dinger Gleichung):
So in der Wellenmechanik Sicht der Quantenphysik, du bist jetzt die Arbeit mit einer Differentialgleichung anstelle von mehreren Matrizen von Elementen. Das kam alles von der Position Basis arbeiten,
Wenn Sie die Schr # 246-dinger Gleichung lösen für
können Sie die erlaubten Energiezustände für ein physikalisches System, sowie die Wahrscheinlichkeit finden, dass das System in einer bestimmten Position Zustand sein wird.
Beachten Sie, dass neben Wellenfunktionen in der Lage Basis, können Sie auch eine Wellenfunktion in der Impuls Basis geben kann,
oder in einer beliebigen Anzahl von anderen Basen.