Ausdruck Funktionen wie Power Series Verwendung der Taylor-Reihe

Die Taylor-Reihe bietet eine Vorlage für eine Vielzahl von Funktionen als Potenzreihe darstellen. Es ist relativ einfach, mit zu arbeiten, und Sie können es anpassen eine gute Annäherung an viele Funktionen zu erhalten.

Hier ist die Taylor-Reihe in seiner ganzen Pracht:

Die Taylor-Serie verwendet die Notation f⁽ⁿ⁾ um anzuzeigen, die nte Ableitung. Hier ist die erweiterte Version der Taylor-Reihe:

Das Vorhandensein der Variablen ein stellt die Taylor-Reihe mit viel Flexibilität, da das nächste Beispiel veranschaulicht.

Angenommen, Sie den Wert der Sünde zu nähern wollen 10. Sie können nur vier Bedingungen der Taylor-Reihe verwenden, um eine gute Annäherung zu machen. Der Schlüssel zu dieser Annäherung ist eine kluge Wahl für die Variable ein:

Lassen ein = 3

Diese Wahl hat zwei Vorteile: Erstens, diesen Wert von ein in der Nähe von 10 (der Wert von x), Die für eine gute Annäherung ermöglicht. Zweitens, es ist ein einfacher Wert für Sinus und Cosinus Berechnung, so dass die Berechnung sollte nicht allzu schwierig sein.

Um zu beginnen, ersetzen 10 für x und 3 für ein in den ersten vier Bedingungen der Taylor-Reihe:

Als nächstes Ersatz in der ersten, zweiten und dritten Ableitung der Sinusfunktion und zu vereinfachen:

Die gute Nachricht ist, dass die Sünde 3 = 0, so dass die erste und dritte Glied herausfallen:

An dieser Stelle möchten Sie wahrscheinlich Ihre Rechner zu greifen:

Diese Annäherung ist korrekt auf zwei Dezimalstellen.