Berechnen von Fehler Bounds für Taylorpolynome

Ein Taylor-Polynom approximiert den Wert einer Funktion, und in vielen Fällen ist es hilfreich, die Genauigkeit der Approximation zu messen. Diese Informationen werden von den zur Verfügung gestellt Taylor Rest Begriff:

f(x) = T_n(x) + R_n(x)

Beachten Sie, dass die Zugabe der Restterm R_n(x) Stellt sich die Annäherung in eine Gleichung. Hier ist die Formel für den Rest Begriff:

Es ist wichtig, klar zu sein, dass diese Gleichung für ein wahr ist spezifisch Wert von c auf dem Intervall zwischen ein und x. Es tut nicht Arbeit für nur einen Wert von c auf diesem Intervall.

Idealerweise gibt die Restglied man die genaue Differenz zwischen dem Wert von einer Funktion und zur Angleichung T_n(x). Da jedoch der Wert von c In der Praxis stellt der Rest Begriff wirklich ein Worst-Case-Szenario für die Annäherung ist ungewiss.

Das folgende Beispiel soll helfen, diese Idee klar zu machen, den sechsten Grades Taylor-Polynom für cos mit x:

Nehmen wir an, dass Sie dieses Polynom verwenden, um annähernd cos 1:

Wie genau ist diese Annäherung wahrscheinlich zu sein? Um herauszufinden, verwenden Sie den Restterm:

cos 1 = T₆(x) + R₆(x)

Das Hinzufügen der damit verbundenen Restzeitänderungen diese Annäherung in eine Gleichung. Hier ist die Formel für den Rest Begriff:

So ersetzen 1 x gibt Ihnen:

An diesem Punkt sind Sie offenbar stecken, weil Sie nicht den Wert der Sünde wissen c. Sie können jedoch stecken c = 0 und c = 1, um Ihnen eine Reihe von möglichen Werten:

Beachten Sie, dass diese Ungleichheit wegen des Intervalls beteiligt auftritt, und weil das Sinus erhöht auf diesem Intervall. Sie können eine andere Schranke mit einem anderen Intervall erhalten.

Dies vereinfacht eine sehr enge Annäherung zu schaffen:

So prognostiziert der Restterm, dass die früher berechneten ungefähren Wert innerhalb 0,00017 des tatsächlichen Wertes sein wird. Und in der Tat,

Wie Sie sehen können, ist die Annäherung innerhalb der Fehlergrenzen durch den Restterm vorhergesagt.