Ausdruck Funktionen wie Power Series Verwenden der Maclaurin Serie

Das Maclaurin Serie ist eine Vorlage, die Sie zum Ausdruck bringen viele andere Funktionen als Potenzreihe ermöglicht. Es ist die Quelle der Formeln für beide Sünde ausdrücken x und cos x als unendliche Reihe.

Ohne weitere Umschweife, hier ist es:

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Die Notation f(n) Mittel # 147-the nte Ableitung von f.# 148- Deutlicher wird dies in der erweiterten Version der Maclaurin Serie:

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Die Maclaurin Serie ermöglicht es Ihnen, indem Sie die folgenden Schritte Funktionen als Potenzreihe zum Ausdruck bringen:

  1. Suchen Sie nach den ersten paar Ableitungen der Funktion, bis Sie ein Muster erkennen.

  2. Ersatz 0 für x in jede dieser Derivate.

  3. Stecken dieser Werte, Term für Term, in die Formel für die Maclaurin Serie.

  4. Wenn möglich, geben die Serie in Sigma-Notation.

Angenommen, dass Sie die Maclaurin Serie zu finden möchten ex.

  1. Suchen Sie nach den ersten paar Derivate von ex bis Sie erkennen ein Muster:

    image2.png

  2. Ersatz 0 für x in jede dieser Derivate.

    image3.png

  3. Stecken Sie diese Werte, Term für Term, in die Formel für die Maclaurin Serie:

    image4.png

  4. Wenn möglich, geben die Serie in Sigma-Notation:

    image5.png

Um diese Formel zu überprüfen, verwenden Sie es zu schätzen, e0 und e1 von 0 und 1 zu ersetzen, die jeweils in den ersten sechs Begriffe:

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Diese Übung Nägel e0 genau, und nähert sich e1 auf zwei Dezimalstellen. Die Maclaurin Serie für ex Damit können Sie diese Funktion für einen beliebigen Wert von berechnen x auf eine beliebige Anzahl von Dezimalstellen.

Jedoch die Maclaurin Serie für ex funktioniert am besten, wenn x in der Nähe von 0. Wie x bewegt sich weg von 0, müssen Sie mehr Begriffe zu berechnen das gleiche Maß an Präzision zu erhalten.

Aber jetzt, können Sie beginnen, um zu sehen, warum die Maclaurin Serie bessere Annäherungen für Werte nahe 0 zu liefern neigt: Die Zahl 0 ist # 147-fest verdrahtete # 148- in die Formel f(0), f'(0), f"(0), und so weiter.

Annähern sin & lt; i>XLT;. / i> durch die Maclaurin Serie mit
Annähern sin x durch die Maclaurin Serie.

Die Abbildung veranschaulicht diesen Punkt. Die erste Grafik zeigt sin x angenähert durch die ersten beiden Bedingungen der Maclaurin Serie mit -, die als Polynom dritten Grades ist

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Die zweite Grafik zeigt eine Annäherung von sin x mit vier Begriffen.

Wie Sie sehen können, verbessert jeder sukzessiven Approximation auf die vorherige. Darüber hinaus neigt jede Gleichung seine beste Annäherung zu schaffen, wenn x nahe 0.

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