Wie die Grenzwertvergleichstest zu verwenden, ob eine Reihe konvergiert zu ermitteln
Die Idee hinter der Grenze Vergleichstest ist, dass, wenn Sie eine bekannte konvergente Reihe nehmen und jedes ihrer Glieder durch eine Zahl multiplizieren, dann wird diese neue Reihe konvergiert auch. Und es spielt keine Rolle, ob der Multiplikator, sagen, 100 oder 10.000 oder 1 / 10.000, da beliebig viele, groß oder klein, mal die endliche Summe der ursprünglichen Serie noch eine endliche Zahl ist. Das gleiche gilt für eine divergente Reihe durch eine beliebige Zahl multipliziert. Diese neue Reihe divergiert auch, weil jede Zahl, groß oder klein, mal unendlich noch unendlich ist. Dies ist mehr als vereinfacht - es ist nur in der Grenze, dass eine Reihe Art ein Vielfaches des anderen ist - aber es vermittelt das Grundprinzip.
Sie können feststellen, ob eine solche Verbindung zwischen zwei in Reihe besteht im Verhältnis der von der Suche nten Glieder der beiden Reihen als n gegen unendlich geht. Hier ist der Test bestanden.
Grenzwert-Vergleichs TEuropäische Sommerzeit: Für zwei Serien,
woher L ist endlich und positiv, entweder beide Reihen konvergieren oder divergieren.
Dies ist ein guter Test zu verwenden, wenn Sie nicht den direkten Vergleichstest für die Serie verwenden kann, weil sie in die falsche Richtung geht - mit anderen Worten, Ihre Serie ist größer als ein bekannter konvergent Serie oder kleiner als ein bekannter abweichend Serie.
Hier ein Beispiel: Hat
konvergieren oder divergieren? Diese Serie erinnert an die konvergente p-Serie
das ist also Ihre Benchmark. Aber man kann nicht den direkten Vergleichstest verwenden, da die Bedingungen Ihrer Serie sind größer als
Stattdessen verwenden Sie den Grenzwert-Vergleichstest.
Nehmen Sie die Grenze des Verhältnisses von der nten Glieder der beiden Reihen. Es spielt keine Rolle, welche Serie Sie im Zähler gesetzt und die im Nenner, aber wenn man die bekannten Benchmark-Reihe im Nenner setzen, das macht es ein wenig einfacher, diese Probleme zu tun, und die Ergebnisse zu erreichen.
Da die Grenze endlich und positiv ist, und weil die Benchmark-Reihe konvergiert, muss die Serie auch konvergieren.
So,
konvergiert.
Nehmen wir ein anderes Beispiel versuchen. Bestimmen Sie die Konvergenz oder Divergenz
Der Grenzwert-Vergleichstest ist gut für die Serie, wie diese, in denen der allgemeine Begriff ist ein rational Funktion - in anderen Worten, wo der allgemeine Begriff ein Quotient zweier Polynome ist.
Bestimmen Sie die Benchmark-Reihe.
Nehmen Sie die höchste Macht n im Zähler und Nenner - alle Koeffizienten und alle weiteren Bedingungen zu ignorieren - dann vereinfachen. So was:
Die Benchmark-Serie ist somit
das abweichend harmonischen Reihe.
Nehmen Sie die Grenze des Verhältnisses von der nten Glieder der beiden Reihen.
Da die Grenze von Schritt 2 ist endlich und positiv ist, und weil die Benchmark-Reihe abweicht, muss die Serie auch auseinandergehen.
So,
abweicht.
Im Gegensatz zur formalen Definition des Grenzwertvergleichstest (am Anfang dieses Artikels), die Grenze, L, muss nicht endlich und positiv sein, für den Test zu arbeiten. Erstens, wenn die Benchmark-Reihe konvergent ist, und setzen Sie es in den Nenner des Grenze und die Grenze ist Null, dann wird Ihre Serie muss auch zusammenlaufen. Wenn die Grenze unendlich ist, können Sie nichts schließen. Und zweitens, wenn die Benchmark-Reihe divergent ist, und Sie setzen es in den Nenner, und die Grenze unendlich ist, dann müssen Sie Ihre Serie auch auseinandergehen. Wird der Grenzwert Null ist, erfahren Sie nichts.