Einrichten von Teil Fraktionen Wenn Sie Distinct Linearfaktoren
Ihr erster Schritt in jedes Problem, das Partialbrüchen beinhaltet ist zu erkennen, welche Fall, dass Sie es zu tun haben, so dass Sie das Problem lösen können. Der einfachste Fall, in dem Partialbrüche hilfreich sind, wenn der Nenner ist das Produkt aus verschieden lineare Faktoren - das heißt, lineare Faktoren, die sich nicht wiederholende.
Zum Beispiel können Sie dies ändern:
dazu:
Beachten Sie, dass für jede einzelne lineare Faktor im Nenner, müssen Sie eine Teilfraktion der folgenden Form hinzuzufügen:
Angenommen, dass Sie die folgende rationale Ausdruck integrieren möchten:
Der Nenner ist das Produkt aus drei Faktoren linear - x, (x + 2) und (x - 5) - es ist so gleich der Summe von drei Fraktionen mit diesen Faktoren wie Nennern:
Die Anzahl der unterschiedlichen linearen Faktoren im Nenner des ursprünglichen Ausdrucks bestimmt die Anzahl der Teilfraktionen. In diesem Beispiel ergibt die Anwesenheit von drei Faktoren im Nenner des ursprünglichen Ausdrucks drei Teilfraktionen.
Sie haben zwei Möglichkeiten, um die Unbekannten in einer Summe von Teilfraktionen zu finden. Die einfache und schnelle Art und Weise wird von den Wurzeln der Polynome verwenden. Leider ist dieses Verfahren nicht immer alle Unbekannten in einem Problem zu finden, obwohl es oft einige von ihnen findet. Der zweite Weg ist ein Gleichungssystem einzurichten.
Wenn eine Summe von Teilfraktionen verschiedenen linearen Faktoren hat, können Sie die Wurzeln dieser linearen Faktoren, um die Werte der Unbekannten zu finden:
Um die Werte der Unbekannten finden EIN, B, und C, zuerst einen gemeinsamen Nenner auf der rechten Seite dieser Gleichung zu erhalten (der gleiche Nenner, der auf der linken Seite ist):
Nun, beide Seiten von diesem Nenner multiplizieren:
1 = EIN(x + 2) (x - 5) + Bx(x - 5) + Cx(x + 2)
Für die Werte von EIN, B, und C, ersetzen die Wurzeln der drei Faktoren (0, -2 und 5):
diese Werte wieder in die ursprüngliche Gleichung Anstecken gibt Ihnen:
Dieser Ausdruck ist äquivalent zu dem, was Sie begann mit, aber es ist viel einfacher zu integrieren. Dazu verwenden Sie die Summenregel zu brechen sie in drei Integrale, die Konstante Multiple Regel fraktioniert Koeffizienten außerhalb jedes Integral und Variablensubstitution bewegen, um die Integration zu tun. Hier ist die Antwort, so dass Sie es ausprobieren können:
Diese Antwort verwendet K eher, als C die Konstante der Integration darstellen Verwirrung zu vermeiden, weil Sie bereits verwendet C in den früheren Teilfraktionen.
Wenn Sie mit einem eindeutigen linearen Faktor beginnen, mit Partialbrüchen lässt Sie mit einem integrierten in der folgenden Form:
Integrieren Sie, indem Sie die Variablensubstitution mit u = Axt + b damit du = a dx und
Diese Substitution führt zu folgendem Integral:
Hier sind ein paar Beispiele:
