Integrieren Sie Funktionen, bei denen die Denominator Irreduzible Quadratic Faktoren Enthält
Manchmal kann man nicht einen Nenner den ganzen Weg hinunter zu linearen Faktoren berücksichtigen, da einige quadratics nicht reduzierbar sind - wie Primzahlen, können sie nicht berücksichtigt werden.
Überprüf den Diskriminanzanalyse. Sie können, ob eine quadratische leicht überprüfen (Axt2 + bx + c) Reduzierbar ist oder nicht durch seine Diskriminante Überprüfung, b2 - 4ac. Wenn die Diskriminante negativ ist, ist die quadratische irreduziblen. Wenn die Diskriminante eine Quadratzahl ist wie 0, 1, 4, 9, 16, 25, usw., kann die quadratische in Faktoren berücksichtigt werden, wie Sie zu sehen, wie gewohnt sind (2x - 5) (x + 5). Die letzte Möglichkeit besteht darin, dass die Diskriminante eine nicht-quadratische positive Zahl ist gleich wie bei der quadratischen x2 + 10x + 1, zum Beispiel, dass eine Diskriminante von 96. In diesem Fall hat, kann die quadratische berücksichtigt werden, aber du hässlich Faktoren beteiligt Quadratwurzeln bekommen. Glücklicherweise sind diese Probleme selten.
Mit Hilfe der Partialbrüchen Technik mit nicht reduzierbaren quadratics ist ein bisschen anders. Hier ist ein Problem: Integration
Faktor, der den Nenner.
Es ist schon erledigt! Beachten Sie, dass x2 + 4 ist irreduziblen weil seine Diskriminante negativ ist.
Brechen Sie den Anteil in eine Summe von "Teilfraktionen."
Wenn Sie einen irreduziblen quadratischen Faktor (wie die x2 + 4), der Zähler für diesen Teilfraktion benötigt zwei Kapital Brief Unbekannten statt nur einer. Sie schreiben, sie in Form von Px + Q.
Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichung mit der linken, Seite Nenner.
Nehmen Sie die Wurzeln der linearen Faktoren und stecken Sie sie - ein zu einer Zeit - in x in der Gleichung von Schritt 3 und dann lösen.
Ob x = 0, falls x = 1,
-4 = -4EIN10 = 5B
EIN = 1B = 2
Sie können nicht für alle Unbekannten lösen, indem sie in den Wurzeln der linearen Faktoren anschließen, so dass Sie mehr Arbeit zu tun.
Stecken Sie in den Schritt 3 Gleichung die bekannten Werte von EIN und B und beliebige zwei Werte für x in Schritt 4 (niedrige Zahlen stellen das arithmetische einfacher) zu erhalten, ein System von zwei Gleichungen nicht verwendet in C und D.
Lösen Sie das System: 1 = -C + Dund 7 = 2C + D.
Du solltest bekommen C = 2 und D = 3 ist.
Teilen Sie die Original-Integral und integrieren.
Unter Verwendung der erhaltenen Werte in den Schritten 4 und 6, EIN = 1, B = 2 ist, C = 2 und D = 3, und die Gleichung aus Schritt 2 können Sie das ursprüngliche Integral in drei Teile aufgeteilt:
Und mit einfachen Algebra, können Sie das dritte Integral auf der rechten Seite in zwei Teile aufgeteilt, in der letzten Partialbruchzerlegung resultierende:
Die ersten beiden Integrale sind einfach. Für die dritte, verwenden Sie die Substitution mit
Der vierte wird mit dem Arcustangens Regel getan, die Sie auswendig lernen sollten: