Einrichten von Teil Fraktionen Wenn Sie Distinct Faktoren haben

Ihr erster Schritt in jedes Problem, das Partialbrüchen beinhaltet ist zu erkennen, welche Fall, dass Sie es zu tun haben, so dass Sie das Problem lösen können. Ein Fall, wo man Partialbrüche verwenden ist, wenn der Nenner ist das Produkt aus verschieden

quadratische Faktoren - das heißt, quadratische Faktoren, die sich nicht wiederholende.

Für jede einzelne quadratische Faktor im Nenner, eine Teilfraktion der folgenden Form hinzufügen:

Angenommen, dass Sie diese Funktion integrieren möchten:

Der erste Faktor in dem Nenner ist linear, aber die zweite ist quadratisch und kann nicht auf lineare Faktoren zerlegt werden. So richten Sie Ihre Partialbrüchen wie folgt:

Die Anzahl der verschiedenen quadratischen Faktoren im Nenner gibt an, wie viele Partialbrüchen Sie erhalten. So in diesem Beispiel sind zwei Faktoren im Nenner ergeben zwei Teilfraktionen.

Arbeiten systematisch mit einem System von Gleichungen,

Einrichten eines Gleichungssystems ist eine alternative Methode, um den Wert der Unbekannten zu finden, wenn Sie mit Partialbrüchen arbeiten. Es ist nicht so einfach wie in den Wurzeln von Faktoren anschließen, aber es ist die einzige Möglichkeit, wenn die Wurzel eines quadratischen Faktor imaginär ist.

Hier ist ein Problem, diese Methode zu veranschaulichen:

So starten Sie sehen, wie weit man durch Einstecken in den Wurzeln von Gleichungen erhalten. Beginnen Sie mit dem einen gemeinsamen Nenner auf der rechten Seite der Gleichung erhalten:

Nun multiplizieren Sie die ganze Gleichung durch den Nenner:

5x - 6 = (EIN) (x² + 3) + (Bx + C) (x - 2)

Die Wurzel x - 2 2 ist, so lassen x = 2 und sehen, was Sie bekommen:

Jetzt können Sie ersetzen

Unglücklicherweise, x² + 3 hat keine Wurzel in den reellen Zahlen, so müssen Sie einen anderen Ansatz. Zuerst wird der Klammern auf der rechten Seite der Gleichung loszuwerden:

Als nächstes verbinden ähnliche Begriffe (mit x als die Variable, durch die beurteilen Sie Ähnlichkeit). Dies ist nur Algebra:

Da diese Gleichung funktioniert für alle Werte von x, Sie nehmen jetzt, was ein fragwürdiger Schritt zu sein scheint, diese Gleichung in drei separate Gleichungen zu brechen, wie folgt:

An dieser Stelle ein wenig Algebra besagt, dass

So können Sie ersetzen die Werte von EIN, B, und C zurück in die Teilfraktionen:

Sie können die zweite Fraktion ein wenig zu vereinfachen:

Quadratic Faktoren der Form (Axt² + C)

Wenn Sie mit einem quadratischen Faktor der Form beginnen (Axt² + C), Ergeben sich die folgenden beiden Integrale Teilfraktionen unter Verwendung:

Integrieren Sie die erste durch die Variablensubstitution mit u = Axt² + C damit du = 2Axtdx und

Diese Substitution führt zu folgendem Integral:

Hier sind einige Beispiele:

Um das zweite Integral auszuwerten, verwenden Sie die folgende Formel:

Quadratic Faktoren der Form (Axt² + bx + C)

Die meisten Mathematiklehrer haben mindestens einen Fetzen der Barmherzigkeit in ihren Herzen, so neigen sie nicht Probleme zu geben, die diese schwierigste Fall umfassen. Wenn Sie mit einem quadratischen Faktor der Form beginnen (Axt² + bx + C), Ergibt sich folgende Integral Partialbrüchen mit:

Okay, das ist viel zu viele Buchstaben und nicht annähernd genug Zahlen. Hier ein Beispiel:

Es geht um die haarigste Integral Sie jemals am Ende einer Teilfraktion gehen zu sehen. Um zu bewerten es, möchten Sie die Variablensubstitution zu verwenden u = x² + 6x + 13, so daß du = (2x + 6) dx. Wenn der Zähler waren 2x + 6, würden Sie in der großen Form sein. So müssen Sie den Zähler ein wenig zu zwicken. Zuerst multiplizieren sie mit 2 und teilen das ganze Integral von 2:

Da Sie das gesamte Integral mit 1 multipliziert, hat keine Netto-Änderung aufgetreten ist. Nun fügen Sie 6 und -6 bis Zähler:

Sie haben 0 zum Integral gegeben, die nicht ihren Wert ändern. An dieser Stelle können Sie das Integral in zwei Teile geteilt:

An dieser Stelle können Sie die Variablensubstitution verwenden, um die erste Integral wie folgt zu ändern:

Um das zweite Integral, füllen den Platz im Nenner lösen: Teilen Sie die b Ausdruck (6) durch 2 und Quadrat, und dann die darstellen C Ausdruck (13) als die Summe aus diesem und was übrig bleibt:

Nun teilen den Nenner in zwei Felder:

dieses Integral, Verwendung Formel im vorherigen Abschnitt gezeigt beurteilen zu können:

Also hier ist die endgültige Antwort für das zweite Integral:

Daher Stück zusammen die vollständige Antwort wie folgt: