Mit Integration von Teil Fraktionen, wenn der Nenner Irreduzible Quadratic Faktoren Enthält

Sie können die Partialbrüchen Methode verwenden, um rationale Funktionen integrieren, einschließlich der Funktionen mit Nennern, die enthalten nicht reduzierbar quadratische Faktoren (das heißt, quadratische Faktoren, die in lineare Faktoren aufgebrochen werden können).

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Wenn die Diskriminante negativ ist, ist die quadratische irreduziblen.

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Sie können die Partialbrüchen Technik für Funktionen, deren Nennern verwenden können, um lineare Faktoren werden berücksichtigt nach unten. Doch mit dieser Technik ist ein bisschen anders, wenn es nicht reduzierbar quadratische Faktoren.

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  1. Faktor, der den Nenner.

    Es ist schon erledigt!

  2. Brechen Sie den Anteil in eine Summe von # 147-Partialbrüchen # 148.

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  3. Multiplizieren Sie beide Seiten dieser Gleichung mit der linken, Seite Nenner.

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  4. Nehmen Sie die Wurzeln der linearen Faktoren und stecken Sie sie - ein zu einer Zeit - in x in der Gleichung von Schritt 3 und dann lösen.

  5. Ob x = 0

    -4 = -4EIN

    EIN = 1

  6. Ob x = 1

    10 = 5B

    B = 2

    7. Sie können nicht für alle Unbekannten lösen, indem sie in den Wurzeln der linearen Faktoren anschließen, so dass Sie mehr Arbeit zu tun.

  7. Stecken Sie in den Schritt 3 Gleichung die bekannten Werte von EIN und B und beliebige zwei Werte für x in Schritt 4 (niedrige Zahlen stellen das arithmetische einfacher) zu erhalten, ein System von zwei Gleichungen nicht verwendet in C und D.

  8. EIN = 1 und B = 2, so

    Ob x = -1

    -18 = -10 - 10 - 2C + 2D

    2 = -2C + 2D

    1 = -C + D

  9. Ob x = 2

    54 = 8 + 32 + 4C + 2D

    14 = 4C + 2D

    7 = 2C + D

  10. Lösen Sie das System: 1 = -C + D und 7 = 2C + D.

    Du solltest bekommen C = 2 und D = 3 ist.

  11. Teilen Sie die Original-Integral und integrieren.

    Unter Verwendung der erhaltenen Werte in den Schritten 4 und 6, EIN = 1, B = 2 ist, C = 2 und D = 3, und die Gleichung aus Schritt 2 können Sie das ursprüngliche Integral in drei Teile aufgeteilt:

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    Und mit grundlegenden Algebra, können Sie das dritte Integral oben in zwei Teile aufgeteilt, in der letzten Partialbruchzerlegung resultierende:

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    Die ersten beiden Integrale sind einfach in einem Schritt natürlichen Logarithmus Integrale.

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    Nach der Substitution, wird dies eine andere natürliche Log-Integral.

    Der vierte wird mit dem Arcustangens Regel getan.

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Erinnern Sie sich an Ihre Log-Regeln, nicht wahr? Der letzte Schritt verwendet, um das Protokoll eines Produktregel die drei Protokolle zu einem zu kombinieren.

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